Theorema Faktor

Advertisement

Theorema Faktor – Teorema Faktor menyatakan bahwa jika p(x) adalah sebuah polinomial dan a adalah sebuah bilangan maka (x-a) adalah sebuah faktor jika dan hanya jika p(a)=0.

Bukti: Hal ini jelas sekali berasal dari Teorema Sisa. Teorema sisa menyatakan jika p(x) adalah sebuah polinomial dan x-a adalah sebuah faktor dari p(x) maka sisanya ketika p(x) dibagi dengan x-a adalah p(a).
(Ini adalah sebuah pernyataan jika dan hanya jika kita perlu membuktikannya dalam kedua arah.)
(=>) Jika x-a adalah sebuah faktor dari p(x) maka kita tahu bahwa sisanya adalah 0. Tapi dari teorema sisa kita tahu bahwa p(a)=sisa maka p(a)=0.
(<=) Jika p(a)=0, kita akan melihat pada pembagian alogaritma untuk p(x). Yaitu, p(x)=d(x)q(x)+r(x), dimana d(x)=x-a karena kita ingin mengetahui tentang pembagian dengan x-a. Maka, p(x)=(x-a)q(x)+r. Tapi p(a)=0 menunjukkan bahwa r=0.
Sehingga, p(x)=(x-a)q(x), atau p(x) yang dapat dibagi dengan x-a.
Oleh karena itu, x-a adalah sebuah faktor dari p(x).
Contoh 1: Berapa faktor dari p(x)=x3-2x2-5x+6?
p(1)=(1)3-2(1)2-5(1)+6=0
p(3)=(3)3-2(3)2-5(3)+6=0
p(-2)= (-2)3-2(-2)2-5(-2)+6=0
Karena ini adalah polinomial derajat ketiga kita tahu bahwa paling banyak hanya ada 3 akar real.
Juga, teorema akar rasional dapat sangat berguna untuk persoalan-persoalan ini. Teorema akar rasional menyatakan bahwa akar-akar rasional yang mungkin ada adalah
+/-(p/q) dimana p adalah faktor dari koefisien di depan suku tertinggi) dan dimana q adalah faktor dari koefisien di depan konstanta.
Contoh 2: Berapa nilai dari k untuk p(x)= x2+kx-2 dimana (x+1) adalah sebuah faktor?
Karena x+1 adalah sebuah faktor, kita tahu bahwa p(-1)=0 dari teorema faktor. Maka,
p(-1)=(-1)2+k(-1)-2=0. Penyelesaian untuk k kita mendapatkan,
k=-1.
Advertisement
Theorema Faktor | lookadmin | 4.5