Close Klik 2x

Teorema Faktor

Advertisement

Teorema Faktor – Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang pengertian suku banyak, operasi pembagian pada suku banyak, dan teorema sisa pada suku banyak. Masih ingatkah kalian? Pemahaman tentang materi tersebut akan sangat membantu kalian dalam memahami materi ini, yaitu tentang Teorema Faktor pada suku banyak. Agar kalian mengerti, yuk simak dengan baik topik ini.

Pada pembahasan terdahulu mengenai pembagian suku banyak, telah disinggung tentang pembuat nol dari pembagi (xk), (ax + b) dan (xj) (xk). Adapun pembuat nol dari ketiga pembagi tersebut berturut-turut yaitu x = k, x = ba dan x = j atau x = k. Nah, pertanyaan berikutnya yang muncul adalah, “bagaimana menentukan faktor dan pembuat nol dari suku banyak itu sendiri?” Untuk menemukan jawabannya, perhatikan penjelasan berikut ini.

Gambar 1. Searah jarum jam dari pojok kiri atas, berturut-turut

menggambarkan kurva suku banyak berderajat 1, 2, 3, dan 4.

 

Pada pembahasan mengenai operasi pembagian pada suku banyak oleh bentuk linear, telah disinggung bahwa suatu suku banyak yang berderajat n pasti memiliki paling banyak npembuat nol (Teori Fundamental Aljabar). Gambar diatas menunjukan bahwa P (x) = xmemiliki 1 pembuat nol, P (x) = x2 – 1 memiliki 2 pembuat nol, P (x) = x36+x memiliki 3 pembuat nol dan P (x) = x424x22+1 memiliki 4 pembuat nol. Berarti, pembuat nol setiap suku banyak dalam gambar diatas adalah titik-titik dimana kurva-kurva tersebut memotong sumbu x (y = 0).

Sampai pada materi ini, apakah ada yang kalian bingungkan? Tentu tidak bukan? Baiklah, mari kita lanjutkan materi selanjutnya.

Penentuan pembuat nol dari suatu suku banyak kini telah dipermudah dengan tersedianya software penggambar grafik. Namun, kita tidak bisa menggunakan cara tersebut untuk saat ini. Oleh karena itu, kita gunakan cara analitis yang disebut dengan Teorema Faktor.

Faktor dari Suku Banyak

Pembagian suku banyak P (x) dengan q (x) yang memberikan sisa S = 0 dapat kita tuliskan sebagai

P (x) = q (x) H (x) + 0

dengan H (x) merupakan sisa pembagian dan q (x) = (xk) sebagai faktor linearnya. Persamaan tersebut dapat kita tuliskan ulang sebagai berikut.

P (x) = (xk) H (x)

Untuk menentukan apakah (xk) merupakan faktor linear dari P (x), maka digunakan teorema faktor berikut ini.

✬ Teorema Faktor ✬

Misalkan P (x) = (xk) H (x) + S maka (xk) merupakan faktor dari suku banyak P (x) jika dan hanya jika P (k) = 0.

Contoh 1:

Tunjukan bahwa q (x) = x – 1 merupakan faktor dari suku banyak P (x) = x3 + x2 + 2x – 4.

Penyelesaian:

Cara 1:

q (x) = x – 1 merupakan faktor dari suku banyak P (x) = x3 + x2 + 2x – 4 jika dan hanya jika pembagian
P (x) oleh q (x) memberikan sisa 0. Mari kita gunakan metode Horner untuk mencari sisa pembagiannya.

Oleh karena sisa pembagiannya 0, maka q (x) = x – 1 merupakan faktor dari suku banyak
P (x) = x3 + x2 + 2x – 4.

Cara 2:

Dengan menggunakan Teorema Sisa I, kita tahu bahwa S = P (k) apabila suku banyak P (x)dibagi oleh (xk). Oleh karena itu, kita hanya perlu memeriksa nilai dari P (1) sebagai berikut.


P (1) = 13 + 12 + 2(1) – 4
P (1) = 1 + 1 + 2 – 4
P (1) = 0

Jadi, q (x) = x – 1 merupakan faktor dari suku banyak P (x) = x3 + x2 + 2x – 4 karena pembagiannya memberikan sisa nol (0).

Cara 3:

Untuk melihat sisa pembagiannya, kita juga dapat menggunakan metode pembagian bersusun sebagai berikut.

Jadi, q (x) = x – 1 merupakan faktor dari suku banyak P (x) = x3 + x2 + 2x – 4 karena pembagiannya memberikan sisa nol (0).

 

Menentukan Faktor-Faktor Suku Banyak

Misalkan suku banyak P (x) dapat difaktorkan kedalam bentuk berikut ini,

P (x) = q1 (x) q2 (x) q3 (x) … qn (x)

maka P (x) akan bernilai nol saat salah satu dari q (x) bernilai nol.

Misalkan suku banyak P (x) = x4 – 5x2 + 4 dapat difaktorkan menjadi P (x) = (x – 1) (x + 1) (x – 2) (x + 2) sehingga P (x) akan bernilai nol saat x = {-2, -1, 1, 2}.

Nah, apa masalahnya sekarang? Betul, bagaimana cara mendapatkan faktor-faktor dari suku banyak tersebut? Untuk itu, mari kita pelajari contoh berikut.

Contoh 2:

Tentukan faktor-faktor dari P (x) = 6x2 – 5x + 1.

Penyelesaian:

Misalkan q (x) = (xk) merupakan salah satu faktor dari P (x). Nilai yang mungkin untuk kadalah faktor dari suku konstan yaitu 1, faktor dari koefisien pada variabel berderajat tertinggi yaitu 6 atau rasio dari keduanya. Nilai-nilai yang mungkin untuk k kita rangkum dalam tabel berikut.

Setelah dilakukan beberapa percobaan dengan tabel Horner, didapati bahwa k=12merupakan salah satu nilai yang memenuhi. Berikut tabel Horner yang bersesuaian untuk k=12.

Jadi, P (x) = (x12)(6x2).

Apabila kalian memfaktorkan secara langsung bentuk kuadrat suku banyak tersebut, maka kalian akan memperoleh faktor-faktor berupa P (x) = (2x – 1) (3x -1). Perhatikan bahwa meskipun kedua bentuk faktor yang kita peroleh berbeda, namun apabila kita jabarkan faktor tersebut maka akan kalian dapati bahwa keduanya setara.

Contoh 3:

Tentukan faktor-faktor dari P (x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2.

Penyelesaian:

Misalkan q (x) = (xk) merupakan salah satu faktor dari P (x), maka nilai yang mungkin untuk kkita rangkum dalam tabel berikut.

Setelah dilakukan beberapa percobaan dengan tabel Horner, didapati bahwa k = -1 merupakan nilai yang memenuhi. Adapun tabel Horner yang dimaksud adalah sebagai berikut.

P (x) dapat ditulis sebagai P (x) = (x + 1) (2x2 – 5x + 2).

Untuk mencari faktor yang lain, kita dapat menggunakan prosedur yang sama. Setelah dilakukan beberapa percobaan dengan tabel Horner, didapati bahwa nilai k = 2 juga merupakan nilai yang memenuhi.

Jadi, faktor-faktor linear dari P (x) adalah P (x) = (x + 1) (x – 2) (2x – 1).

Mudah bukan? Agar kalian lebih paham lagi, yuk kerjakan soal-soal latihan berikut ini.

Advertisement
Teorema Faktor | lookadmin | 4.5