PERSAMAAN TRIGONOMETRI

PERSAMAAN TRIGONOMETRI – Pernahkah kamu melihat persamaan seperti tan x = 133, sin x = – 122, dan cos x = – 12? Persamaan ini dinamakan dengan persamaan trigonometri karena memuat fungsi trigonometri. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut? Sebelum mempelajarinya, mari kita ingat kembali tentang grafik fungsi trigonometri dan sudut-sudut berelasi. Grafik fungsi sinus dan kosinus berulang setiap 360⁰, sedangkan grafik fungsi tangen berulang setiap 180⁰. Selain itu, kita juga telah mempelajari tentang sudut berelasi di kuadran I, kuadran II, kuadran III maupun kuadran IV. Dengan berbekal konsep grafik fungsi trigonometri dan sudut berelasi, kita akan dapat menyelesaikan suatu persamaan trigonometri. Mari kita lanjutkan dengan mempelajari persamaan tigonometri berikut.

Persamaan Trigonometri Bentuk sin x = sin α

Apakah kamu masih ingat dengan rumus-rumus berikut?
(1) sin (180⁰ – α) = sin α
(2) sin (α + k. 360⁰) = sin α dengan k ϵ B, B = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

Rumus (1) dan (2) dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk sin x = sin α sebagai berikut:

Apabila persamaan trigonometri berbentuk sin x = sin α maka penyelesaiannya adalah,
x = α + k. 360⁰ atau x = (180⁰ – α) + k. 360⁰ dengan k ϵ B

Apabila ukuran sudut menggunakan radian, maka penyelesaiannya adalah:
x = α + k. 2π atau x = (π – α) + k. 2 π dengan k ϵ B

Contoh
Tentukan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin x = sin 30⁰.

Penyelesaian:

sin x = sin 30⁰ maka diperoleh,
x = 30⁰ + k. 360⁰ atau x = (180⁰ – 30⁰) + k. 360⁰ = 150⁰ + k. 360⁰ dengan k ϵ B.

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin x = sin 50⁰ untuk 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰

Penyelesaian:

sin x = sin 50⁰ maka diperoleh,
x = 50⁰ + k. 360⁰ atau x = (180⁰ – 50⁰) + k. 360⁰ = 130⁰ + k. 360⁰ dengan k ϵ B.

Untuk x = 50⁰ + k. 360⁰
k = 0 → x = 50⁰ + 0. 360⁰ = 50⁰
k = 1 → x = 50⁰ + 1. 360⁰ = 410⁰

Oleh karena batasnya adalah 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰, maka hasil dari penggantian k = 1 yaitu x = 410⁰ tidak termasuk ke dalam penyelesaian.

Catatan: Nilai x tidak boleh melewati batas nilai yang ditentukan.

Untuk x = 130⁰ + k. 360⁰
k = 0 → x = 130⁰ + 0 (360⁰) = 130⁰
k = 1 → x = 130⁰ + 1 (360⁰) = 130⁰ + 360⁰ = 490⁰

Oleh karena batasnya adalah 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰, maka hasil dari penggantian k = 1 yaitu x = 490⁰ tidak termasuk ke dalam penyelesaian.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {50⁰, 130⁰}

Persamaan Trigonometri Bentuk cos x = cos α

Mari kita ingat kembali rumus-rumus berikut.
(1) cos (- α) = cos α
(2) cos (α + k. 360⁰) = cos α dengan k ϵ B, B = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Rumus (1) dan (2) dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk cos x = cos α sebagai berikut:

Apabila persamaan trigonometri berbentuk cos x = cos α maka penyelesaiannya adalah:
x = α + k. 360⁰ atau x = (- α) + k. 360⁰ dengan k ϵ B

Apabila ukuran sudut menggunakan radian, maka penyelesaiannya adalah:
x = α + k. 2π atau x = (- α) + k. 2 π dengan k ϵ B

Contoh
Tentukan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2x = cos 50⁰ untuk 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰.

Penyelesaian:

Oleh karena batasnya adalah 0⁰≤ x ≤360⁰, maka x = – 25⁰ dan x = 385⁰ tidak termasuk ke dalam penyelesaian.
Himpunan penyelesaiannya adalah {25⁰, 155⁰, 205⁰, 335⁰}

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari cos 3x = cos π untuk 0 ≤ x32 π.

Penyelesaian:

Oleh karena batasnya adalah 0 ≤ x32 π, maka x = – 13π dan x = 53π tidak termasuk ke dalam penyelesaian.
Himpunan penyelesaian adalah { 13π, π }

Persamaan Trigonometri Bentuk tan x = tan α

Mari kita ingat kembali rumus-rumus berikut.
(1) tan (180⁰- α) = tan α
(2) tan (α + k. 180⁰) = tan α dengan k ϵ B, B = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Rumus (1) dan (2) dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk tan x = tan α sebagai berikut:

Apabila persamaan trigonometri berbentuk tan x = tan α maka penyelesaiannya adalah:
x = α + k.180⁰ dengan k ϵ B

Apabila ukuran sudut menggunakan radian, maka penyelesaiannya adalah:
x = α + k.π dengan k ϵ B

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian tan 2x = cot x dalam interval 0 ≤ x ≤ 3/2 π

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian sin x = tan x untuk 0 ≤ x ≤ 2π

Penyelesaian:

sin x = tan x maka diperoleh

Untuk sin x = 0

Untuk cos x – 1 = 0

Himpunan penyelesaiannya adalah {0, π, 2 π}

Persamaan Bentuk sin x = a, cos x = a, dan tanx = a

Langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan bentuk sin x = a, cos x = a, dan tan x = adengan a ϵ R
• Ubah nilai a menjadi nilai perbandingan trigonometri.
• Selesaikan persamaan yang terbentuk.

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos x = 122 dalam interval 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰.

Penyelesaian:

Himpunan penyelesaiannya adalah {45⁰, 315⁰}

Kurang lengkap rasanya jika setelah mempelajari topik ini tidak langsung mengerjakan latihan. Agar pemahamanmu semakin dalam, kerjakan soal-soal latihan berikut dengan semangat menggebu-gebu. Selamat bekerja.

PERSAMAAN TRIGONOMETRI | lookadmin | 4.5