Perbandingan Trigonometri dari Sudut yang Berelasi

Perbandingan Trigonometri dari Sudut yang Berelasi – Setelah kalian belajar tentang perbandingan pada segitiga siku-siku dan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut khusus (istimewa), mungkin pada benak kalian muncul pertanyaan: ”Bagaimana cara menentukan nilai perbandingan trigonometri bila sudutnya bukan sudut lancip?”

Nah, untuk menjawab pertanyaan tersebut, kalian perlu mempelajari topik kali ini.
Yuk kita simak topik kali ini.

PENGERTIAN KUADRAN DALAM PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

Gambar berikut memberikan ilustrasi tentang pembagian sudut dalam 4 kelompok kuadran.

Misalkan besar sudut adalah α.

  1. Jika 0° < α < 90° atau 0 < α < π2, maka α terletak di kuadran I.
  2. Jika 90° < α < 180° atau π2 < α < π, maka α terletak di kuadran II.
  3. Jika 180° < α < 270° atau π<α<32π, maka α terletak di kuadran III.
  4. Jika 270° < α < 360° atau 32π < α < 2π, maka α terletak di kuadran IV.

Nah, bagaimanakah perbandingan sudut dalam masing-masing kuadran?

Sudut yang Terletak pada Kuadran I

Materi ini telah banyak kalian pelajari dalam materi tentang perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Apakah kalian masih ingat?

Berdasarkan gambar di atas, nilai perbandingan trigonometri pada kuadran I adalah sebagai berikut:

Jika kita perhatikan, ternyata semua nilai perbandingan trigonometri pada kuadran I bertanda positif (+).

Sudut yang Terletak pada Kuadran II

Letak sudut dalam kuadran II ditunjukkan dalam gambar berikut.

Bagaimanakah nilai perbandingan trigonometri pada kuadran II?
Bagaimana pula tanda dari setiap nilai perbandingan trigonometri tersebut?

Berikut ini adalah jawaban dari kedua pertanyaan di atas:

Sudut yang Terletak pada Kuadran III

Letak sudut α di kuadran III ditunjukkan oleh gambar berikut:

Berdasarkan gambar di atas, nilai perbandingan trigonometri pada Kuadran III adalah sebagai berikut:

Sudut yang Terletak pada Kuadran IV

Gambar berikut ini menunjukkan letak sudut α di kuadran IV.

Berdasarkan gambar di atas, nilai perbandingan trigonometri pada Kuadran IV adalah sebagai berikut:

Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai penjelasan tentang tanda nilai perbandingan trigonometri dalam keempat kuadran?
Ilustrasi berikut ini menjelaskan kesimpulan dari penjelasan di atas.

Sekarang kalian sudah mulai paham bukan?
Nah, untuk menambah pemahaman kalian, mari kita cermati beberapa contoh berikut.

Contoh 1:

Tentukan tanda dari setiap perbandingan trigonometri berikut:

  1. sin 145°
  2. cos 230°
  3. tan 110°

Penyelesaian:

  1. Oleh karena 90° < 145° < 180°, maka sudut 145° terletak di kuadran II → sin 145°bertanda positif.
  2. Oleh karena 180° < 230° < 270°, maka sudut 230° terletak di kuadran III → cos 230°bertanda negatif.
  3. Oleh karena 90° < 110° < 180°, maka sudut 110° terletak di kuadran II → tan 110°bertanda negatif.

Contoh 2:

Tentukan nilai perbandingan trigonometri apabila α adalah sudut yang dibentuk oleh titik
A(-6, -8) dan sumbu X.

Penyelesaian:

Permasalahan di atas dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Oleh karena titik A(-6, -8) terletak di kuadran III, maka nilai perbandingan trigonometri dari sudut yang dibentuk oleh titik A(-6, -8) dan sumbu X adalah sebagai berikut:

Contoh 3:

Diketahui cos α=513 dan π<α<32π. Tentukan nilai tan α.

Penyelesaian:

Oleh karena π<α<32π, maka α terletak di kuadran III.

Dengan demikian,

Selanjutnya, karena x2+y2=r2, maka

Dengan demikian, tan α=yx=125=125.

SUDUT-SUDUT BERELASI

Sudut-sudut yang berelasi atau berhubungan ditunjukkan dengan adanya hubungan antara sudut α dengan sudut (90° ± α), (180° ± α), (270° ± α), (360° ± α), atau .

Jika sudut α berelasi dengan sudut (90° – α) atau (π2 – α), maka kedua sudut dinamakan saling berpenyiku. Selanjutnya, jika sudut α berelasi dengan sudut (180° – α) atau (π – α), maka kedua sudut tersebut dinamakan saling berpelurus.

Perbandingan Trigonometri di Kuadran I

Oleh karena pada gambar di atas, titik M(x1, y1) adalah bayangan dari titik K(x, y) oleh pencerminkan terhadap garis y = x, maka

Dengan demikian, relasi antara sudut α dengan sudut (90° – α) atau (π2α) adalah sebagai berikut:

Contoh:

  • sin75°=sin(90°15°)=cos15°
  • cosπ6=cos(π2π3)=sinπ3
  • tan25°=tan(90°65°)=cot65°

Perbandingan Trigonometri di Kuadran II

A. Sudut α berelasi dengan sudut (180° – α) atau (π – α)

Relasi antara sudut α dengan sudut (180° – α) adalah sebagai berikut:

Contoh:

  • sin120°=sin(180°60°)=sin60°=123
  • cos56π=cos(ππ6)=cosπ6=123
  • tan135°=tan(180°45°)=tan45°=1

B. Sudut α berelasi dengan (90° + α) atau (π2 + α)

Misalkan A(x , y), OA = r, dan ∠AOC = α.

Jika α diputar dengan pusat perputaran adalah O(0,0) sejauh 90° dengan arah berlawanan arah putar jarum jam, maka bayangan titik A oleh perputaran tersebut adalah A'(-y , x).

Dengan demikian, ∠AOA’ = (90° + α) dan OA = OA’ = r.

Berdasarkan gambar di atas, relasi antara sudut α dengan (90° + α) adalah sebagai berikut:

Contoh:

  • sin 120° = sin(90° + 30°) = cos 30° = 123
  • tan 135° = tan(90° + 45°) = – cot 45° = -1

Perbandingan Trigonometri di Kuadran III

A. Sudut α berelasi dengan (180° + α) atau (π + α)

Mari kita perhatikan gambar berikut.

Relasi antara sudut α dengan sudut (180° + α) adalah sebagai berikut:

B. Sudut α berelasi dengan sudut (270° – α) atau (32π – α)

Misalkan A(x , y), OA = r, dan ∠AOC = α.

Jika titik A dicerminkan terhadap garis y = x, kemudian diputar dengan pusat perputaran adalah O sejauh 180° dengan arah berlawanan arah putar jarum jam, maka bayangan dari titik A adalah A”(-y, -x), dimana ∠AOA’ = (270° – α) dan OA = OA” = r.

Berdasarkan gambar di atas, relasi antara sudut α dengan (270° – α) adalah sebagai berikut:

Contoh:

Tentukan nilai dari cos 210° dengan menggunakan relasi (180° + α) dan (270° – α).

Penyelesaian:

Berdasarkan uraian di atas, tampak bahwa kedua relasi memberikan hasil yang sama.

Perbandingan Trigonometri di Kuadran IV

A. Sudut α berelasi dengan (360° – α) atau (2π – α)

Berdasarkan gambar di atas,

  • ∠QOP = α
  • ∠QOP’ = (360° – α)

Dengan demikian, relasi antara sudut α dengan sudut (360° – α) atau (2π – α) adalah sebagai berikut:

Contoh:

B. Sudut α berelasi dengan sudut (270° + α) atau (32π + α)

Jika titik A(x , y) dengan OA = r dan ∠AOB = α diputar dengan pusat O(0,0) sejauh 270° dengan arah berlawanan arah putar jarum jam, maka bayangan dari titik A adalah A'(y , x), dimana∠AOA’ = (270° + α) dan OA = OA’ = r.

Berdasarkan gambar di atas, relasi antara sudut α dan sudut (270° + α) adalah sebagai berikut:

C. Sudut α berelasi dengan sudut (-α)

Mari kita perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas,

  • ∠QOP = α → berlawanan arah dengan arah putar jarum jam
  • ∠QOP’ = -α → searah dengan arah putar jarum jam

Dengan demikian,

Contoh:

Bagaimana dengan nilai perbandingan trigonometri pada batas kuadran?
Nilai perbandingan trigonometri pada batas kuadran dapat kita tentukan dengan menggunakan lingkaran satuan.

Lantas, bagaimana dengan sudut A yang lebih besar dari 360°?

Jika sudut A lebih besar dari 360°, maka sudut A harus diubah terlebih dahulu sehingga berbentuk (θ + k.360°) dengan k = 1, 2, 3, 4, ….

Dengan demikian,

Perbandingan Trigonometri dari Sudut yang Berelasi | lookadmin | 4.5