Penyelesaian Persamaan Suku Banyak

Penyelesaian Persamaan Suku Banyak – Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari tentang Teorema Faktor. Apakah kalian masih ingat? Pemahaman kalian pada topik tersebut akan sangat membantu kalian dalam memahami topik kali ini, yaitu penyelesaian persamaan suku banyak. Oleh karena itu, mari kita ingat kembali.

☆ Teorema Faktor

Jika f (x) suatu suku banyak, maka (xk) merupakan faktor dari f (x) jika dan hanya jika
f (k) = 0

Untuk menambah pemahaman kalian, perhatikan contoh berikut.

Suatu suku banyak x2 – 5x + 6 = 0 dapat kita selesaikan dengan cara pemfaktoran.

x2 – 5x + 6 = 0

(x – 2) (x – 3) = 0

Dapat disimpulkan bahwa faktor dari suku banyak tersebut adalah (x – 2) dan (x – 3).

Jika kita cek dengan menggunakan Teorema Faktor, akan kita dapatkan.

f (2) = 22 – 5 (2) + 6 = 0

f (3) = 32 – 5 (3) + 6 = 0

nilai 2 dan 3 menyebabkan nilai f (x) menjadi 0. Nilai inilah yang disebut sebagai akar atau penyelesaian persamaan suku banyak.

☆ Penyelesaian Persamaan Suku Banyak

Jika f (x) suatu suku banyak, maka (xk) merupakan faktor dari f (x) jika dan hanya jika kadalah penyelesaian dari f (x) = 0. k disebut sebagai penyelesaian persamaan suku banyak.

        Satu hal penting yang harus kalian ingat, bahwa suatu suku banyak dengan derajat nmemiliki jumlah maksimum penyelesaian sebanyak n, seperti contoh diatas, suku banyak berderajat 2 memiliki jumlah maksimum penyelesaian sebanyak 2.

Coba kalian amati. Pada contoh diatas, kalian dapat memfaktorkan dengan mudah suku banyak yang dimaksud, karena hanya berderajat 2. Namun, bagaimana jika derajat suku banyak lebih dari 2? Apakah cara pemfaktoran biasa masih efektif digunakan? Untuk tahu jawabannya, perhatikan penjelasan berikut.

Salah satu cara termudah untuk mencari penyelelesaian suku banyak adalah dengan menentukan bilangan yang merupakan faktor dari konstantanya, lalu memeriksanya dengan metode Horner. Jika sisa pembagiannya adalah 0, bilangan tersebut merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan suku banyak.

Apakah kalian sudah paham dengan uraian materi tersebut? Untuk menambah pemahaman kalian, mari kita perhatikan contoh berikut.

Contoh

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari persamaan suku banyak

x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0.

Penyelesaian:

Oleh karena derajat suku banyak tersebut adalah 3, maka suku banyak pada soal mempunyai maksimum 3 buah penyelesaian. Untuk mencari penyelesaiannya, kita harus mencari faktor dari 6 terlebih dahulu. Bilangan yang merupakan faktor dari 6 adalah ±3, ±2, ±1 dan ±6.

Selanjutnya, kita cari satu persatu nilai sisa pembagiannya dengan metode Horner. Jika sisa pembagiannya 0, maka bilangan tersebut adalah salah satu penyelesaiannya. Mari kita coba dengan salah satu faktornya yaitu 1.

Sisa pembagian yang dihasilkan adalah 0, maka 1 merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan suku banyak tersebut atau bisa kita tulis:

x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0

(x – 1) (x2x – 6) = 0.

Selanjutnya, kita bisa faktorkan (x2x – 6) seperti biasa sehingga menghasilkan:

x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0

(x – 1) (x – 3) (x + 2) = 0

x = 1 atau x = 3 atau x = -2

Jadi, penyelesaian persamaan suku banyak x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0 adalah 1, 3 dan -2.

Agar kalian lebih paham, mari kita perhatikan contoh lain dari penyelesaian persamaan suku banyak dengan derajat yang lebih besar dari 3.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari persamaan suku banyak

x4x3 – 7x2 + x + 6 = 0.

Penyelesaian:

Oleh karena derajat suku banyak tersebut adalah 4, maka suku banyak pada soal mempunyai maksimum 4 buah penyelesaian. Untuk mencari penyelesaiannya, kita harus mencari faktor dari 6 terlebih dahulu. Bilangan yang merupakan faktor dari 6 adalah ±3, ±2, ±1 dan ±6.

Selanjutnya, kita cari satu persatu nilai sisa pembagiannya dengan metode Horner. Jika sisa pembagiannya 0, maka bilangan tersebut adalah salah satu penyelesaiannya. Mari kita coba dengan salah satu faktornya yaitu 1.

Sisa pembagian yang dihasilkan adalah 0, maka 1 merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan suku banyak tersebut atau bisa kita tulis:

x4x3 – 7x2 + x + 6 = 0

(x -1) (x3 – 7x – 6) = 0

dengan cara yang sama, kita dapat menentukan faktor dari x3 – 7x – 6 dengan metode Horner untuk x = -2.

Sisa pembagian yang dihasilkan adalah 0, maka -2 merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan suku banyak tersebut atau bisa kita tulis:

x4x3 – 7x2 + x + 6 = 0

(x -1) (x + 2) (x2 – 2x -3) = 0

Selanjutnya, kita bisa faktorkan x2 – 2x -3 seperti biasa sehingga menghasilkan:

x4x3 – 7x2 + x + 6 = 0

(x -1) (x + 2) (x2 – 2x – 3) = 0

(x -1) (x + 2) (x + 1) (x – 3) = 0

x = 1 atau x = -2 atau x = -1 atau x = 3

Jadi, penyelesaian persamaan suku banyak x4x3 – 7x2 + x + 6 adalah 1, -1, -2 dan 3.

Mudah bukan? Agar kalian lebih paham lagi, yuk kerjakan latihan-latihan soal berikut ini.

Penyelesaian Persamaan Suku Banyak | lookadmin | 4.5