Close Klik 2x

Penggunaan Turunan dalam Kehidupan Sehari-Hari

Advertisement

Penggunaan Turunan dalam Kehidupan Sehari-Hari – Topik ini merupakan topik terakhir dari materi turunan. Pada topik ini, kalian akan belajar bagaimana memodelkan dan menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan turunan. Salah satu konsep turunan yang sering digunakan adalah turunan pertama dan nilai maksimum serta minimum fungsi. Konsep turunan pertama fungsi banyak digunakan dalam masalah kecepatan dengan diketahui fungsi posisinya, sedangkan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi digunakan dalam masalah luas seperti luas tanah dan bangunan, volume bangun ruang, dan ilmu ekonomi.

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi sering disebut dengan nilai ekstrim. Nilai ekstrim dari fungsi y=f(x) diperoleh untuk x yang memenuhi persamaan f(x)=0. Jikax=a adalah nilai x yang memenuhi persamaan f(x)=0, maka (a,f(a)) adalah titik ekstrim fungsi y=f(x) dan f(a) adalah nilai ekstrim fungsi y=f(x).
Jenis nilai ekstrim fungsi dapat ditentukan sebagai berikut.

  • Nilai ekstrim ini akan merupakan nilai maksimum jika:

f ‘ (x) = 0 dan f “ (x) < 0.

  • Nilai ekstrim akan merupakan nilai minimum jika:

f ‘(x) = 0 dan f “ (x) > 0.

◙ ◙ ◙ Contoh 1 ◙ ◙ ◙

Sebuah kembang api diluncurkan ke udara. Ketinggian kembang api h = f (t) (dalam meter) pada t sekon dimodelkan dengan f (t) = 16t2 + 200 t + 4. Tentukan kecepatan luncur kembang api saat t = 3 sekon.

Penyelesaian:
Diketahui ketinggian kembang api saat t sekon adalah:
f (t) = 16t2 + 200 t + 4

Kecepatan luncur kembang api diperoleh turunan pertama dari fungsi ketinggian (posisi) kembang api sebagai berikut.
f ‘ (t) = 32t+ 200
f ‘ (3) = 32(3) +200 = 296

Jadi, kecepatan luncur kembang api saat t = 3 sekon adalah 296 m/s.

◙ ◙ ◙ Contoh 2 ◙ ◙ ◙

Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang per hari dengan biaya x3 – 600x2 + 112.500xrupiah. Berapa unit barang yang harus diproduksi setiap harinya supaya biaya produksi menjadi minimal?

Penyelesaian:

Misalkan biaya produksi per hari adalah p(x), maka biaya produksi akan minimum untuk nilai x yang memenuhi persamaan p(x)=0 dan p′′(x)>0.

p(x)=0

3x21.200x+112.500=0

x2400x+37.500=0

(x150)(x250)=0

x=150 atau x=250

Oleh karena p′′(x)=6x1.200 dan p′′(250)=6(250)1.200=300>0, maka jumlah barang yang harus diproduksi tiap harinya agar biaya minimum adalah 250 unit.

◙ ◙ ◙ Contoh 3 ◙ ◙ ◙

Sebuah bola tenis ditembakkan ke atas. Jika tinggi bola tenis (cm) dari permukaan tanah setelah t detik dirumuskan dengan h(t)=120t5t2, maka tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tenis tersebut.

Penyelesaian:

Bola tenis akan mencapai ketinggian maksimum dari permukaan tanah untuk t yang memenuhi h(t)=0 dan h(t)<0

h(t)=0
12010t=0
10t=120
t=12
Oleh karena h “ (x) = -10 < 0, maka bola tenis akan mencapai ketinggian maksimum dari permukaan tanah.
Selanjutnya, dengan mensubtitusikan t=12 ke h(t) diperoleh:
h(12)=120(12)5(12)2=720.

Dengan demikian, tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tenis adalah 720 cm.

◙ ◙ ◙ Contoh 4 ◙ ◙ ◙

Sebuah perusahaan peralatan dapur memproduksi x unit barang dengan biaya (x270x+250) ribu rupah. Jika pendapatan setelah semua barang habis terjual adalah 100x ribu rupiah, maka hitung keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan keuntungan perusahaan adalah f(x), sehingga:

f(x)= pendapatan – biaya produksi
f(x)=100x(x270x+250)
f(x)=x2+170x250

Keuntungan maksimum akan diperoleh untuk nilai x yang memenuhi f(x)=0 dan f(x)<0

f(x)=0
2x+170=0
2x=170
x=85
Oleh karena f “ (x) = -2 < 0, maka keuntungan yang diperoleh adalah maksimum.
Besar keuntungan pada saat x=85 adalah f(85)=85270(85)+250=175.

Jadi, keuntungan maksimum perusahaan adalah 175.000 rupiah.

Apakah kamu sudah paham dengan penjelasan di atas? Ayo tingkatkan pemahamanmu dngan mengerjakan soal-soal berikut. Selamat Belajar.

Penggunaan Turunan dalam Kehidupan Sehari-Hari | lookadmin | 4.5