Close Klik 2x

Pengertian Limit Fungsi Melalui Perhitungan Nilai-Nilai Fungsi

Advertisement

Pengertian Limit Fungsi Melalui Perhitungan Nilai-Nilai Fungsi – Speedometer merupakan suatu alat yang digunakan untuk mengukur kecepatan pada kendaraan seperti sepeda motor atau mobil. Kecepatan yang terukur merupakan kecepatan sesaat, yaitu kecepatan rata-rata suatu benda dalam selang waktu yang sangat singkat. Secara matematis, kecepatan sesaat dinyatakan sebagai v=limt0xt. Simbol ∆t → 0 menunjukkan bahwa selang waktu yang diukur sangat kecil (mendekati 0 detik), namun tidak tepat 0. Kecepatan sesaat tersebut didefinisikan dengan menggunakan konsep limit fungsi yang akan kamu pelajari dalam topik kali ini. Agar kamu memahaminya, yuk simak dengan saksama.

Sebelum kamu mempelajari topik ini, yuk kita ingat kembali tentang definisi fungsi dan cara menghitung nilai fungsi berikut ini.

Fungsi merupakan suatu hubungan yang memasangkan setiap anggota suatu himpunan dengan tepat satu anggota suatu himpunan yang lain. Cara menghitung nilai fungsi di titik tertentu adalah dengan mensubsitusikan nilai titik tersebut ke dalam fungsi.

Contoh:

Jika diketahui sebuah fungsi f(x) = x + 1, nilai fungsi di titik x = 3 adalah ….

Penyelesaian:

Dengan mensubsitusikan nilai x = 3 ke dalam fungsi f(x), diperoleh:

f(3) = 3 + 1 = 4

Jadi, nilai fungsi f(x) = x + 1 di titik x = 3 adalah 4.

   Pengertian Limit Fungsi Melalui Perhitungan Nilai-Nilai Fungsi 

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, limit diartikan sebagai batas. Konsep limit memang berhubungan dengan batas. Akan tetapi, dalam matematika limit sering diartikan sebagai suatu nilai pendekatan. Kamu pasti bertanya-tanya bagaimana konsepnya? Agar kamu lebih mudah memahaminya, simak ilustrasi ini ya.

                              Donatur yang Teratur 

Seorang donatur selalu memberikan sumbangan setiap bulan sepanjang tahun. Namun, dia menyadari bahwa jumlah uang yang dia sumbangkan setiap bulannya tidaklah memiliki keteraturan yang baik. Dia memutuskan untuk membuat suatu pola pada jumlah sumbangan per bulannya. Adapun pola yang dia pilih memenuhi fungsi:

s(t)=t216t4

dalam jutaan rupiah, dengan variabel t menyatakan urutan bulan yang bersesuaian.

          Pada bulan februari (bulan ke-2), jumlah uang yang dia sumbangkan senilai:

          Awalnya dia merasa puas dengan pola keteraturan yang telah dia pilih, namun pada bulan april (bulan ke-4), dia menemukan suatu keganjilan. Berdasarkan pola yang dia buat, pada bulan ke-4 dia harus menyumbangkan uang yang tidak tentu jumlahnya, yaitu:

          Dia kemudian membuat sebuah tabel dari uang yang harus dia sumbangkan setiap bulannya untuk memeriksa masalah ini.

Merasa kurang yakin, donatur ini membuat tabel baru yang lebih rinci guna memeriksa jumlah sumbangan disekitar bulan ke-4.

          Dari tabel baru ini, dia berkesimpulan bahwa di sekitar bulan ke-4 dia harus menyumbangkan uang sebesar 8 juta rupiah, karena nilai fungsi pada tabel apabila ditelusuri dari kiri atau kanan cenderung menuju nilai yang sama yaitu 8.

          Nah, dari ilustrasi tersebut kita dapat belajar tentang konsep limit fungsi berdasarkan perhitungan nilai-nilai fungsi. Secara matematis, pemecahan dari masalah dalam ilustrasi dapat dinyatakan sebagai suatu limit fungsi, yaitu:

  • limt4t216t4 dibaca limit fungsi t216t4 untuk t mendekati 4 dari arah kiri dan disebut sebagai limit kiri
  • limt4+t216t4 dibaca limit fungsi t216t4 untuk t mendekati 4 dari arah kanan dan disebut sebagai limit kanan

Oleh karena nilai limit kiri sama dengan limit kanan, maka dapat disimpulkan bahwalimt4t216t4=8 dan dibaca limit fungsi t216t4 untuk t mendekati 4 adalah 8.

Nilai limit suatu fungsi tidak selalu ada. Adakalanya, kita menjumpai limit fungsi yang tidak mempunyai nilai di suatu titik. Untuk memahaminya, perhatikan ilustrasi di bawah ini.

                              Tarif Jasa Kurir 

Tarif jasa kurir untuk pengiriman barang dalam radius 200 km pada suatu perusahaan ekspedisi dinyatakan dalam tabel berikut.

          Aturan tarif ini dapat pula dinyatakan sebagai fungsi:

          Kita dapat menggambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik dengan sumbu xmerupakan berat item (kg) dan sumbu y merupakan tarif pengiriman (kali 10000) sebagai berikut.

          Untuk pengiriman barang seberat 2 kilogram dikenakan tarif 20.000 rupiah. Namun, apabila ditinjau dari sudut pandang limit fungsi, fungsi f(x) tersebut tidak memiliki nilai limit di sekitar 2 kg. Hal ini dapat dijelaskan dengan melihat tabel tarif pengiriman di sekitar nilai 2 kg.

          Perhatikan bahwa apabila kita menyusuri grafik dari kiri menuju 2 kg, hasil yang kita peroleh berbeda dengan apabila kita menyusuri grafik dari kanan menuju 2 kg. Dalam konteks limit fungsi, kondisi ini dapat dituliskan sebagai berikut.

  • limx2f(x)=20000 yang berarti limit fungsi f(x) saat x mendekati 2 dari kiri adalah 20000.
  • limx2+f(x)=25000 yang berarti limit fungsi f(x) saat x mendekati 2 dari kanan adalah 25000.

Oleh karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan atau limx2f(x)limx2+f(x), maka nilai limit fungsi di titik tersebut tidak ada.

Dari kedua ilustrasi tersebut, dapat kita simpulkan bahwa:

● TEOREMA LIMIT KIRI-LIMIT KANAN 

Limit sebuah fungsi di titik x dikatakan ada jika dan hanya jika limit kiri dan limit kanannya ada dan memenuhi: limxaf(x) = limxa+f(x) = limxaf(x)

Dari penjelasan di atas, kita juga dapat mendefinisikan limit fungsi secara intuisi berikut.

● DEFINISI LIMIT FUNGSI 

limxaf(x)=L berarti jika x dekat tetapi berlainan dari a, maka f(x) mendekati L.

POIN PENTING

1. Limit suatu fungsi ada apabila limit kiri dan kanannya bernilai sama.
2. Limit fungsi tidak bergantung pada nilai fungsi di titik limitnya begitu pula sebaliknya.
3. Limit fungsi dapat ditentukan dengan melihat kecenderungan nilai fungsi di sekitar titik limitnya.

Kamu tentu sudah paham dengan konsep limit fungsi melalui perhitungan nilai-nilai fungsi. Agar penegetahuanmu bertambah, kamu dapat gunakan konsep tersebut untuk menghitung limit fungsi melalui pengamatan grafik fungsi seperti contoh di bawah ini.

Contoh

Perhatikan grafik dari suatu fungsi f(x) berikut.

Tentukan nilai dari limit berikut.

Penyelesaian:

Dengan menelusuri grafik menuju titik-titik limit yang dimaksud, diperoleh:

Kamu tentu telah paham dengan topik ini. Agar pemahamanmu bertambah, yuk kerjakan latihan soal-soal yang ada.

Pengertian Limit Fungsi Melalui Perhitungan Nilai-Nilai Fungsi | lookadmin | 4.5