Penerapan Turunan dalam Masalah Maksimum dan Minimum

Penerapan Turunan dalam Masalah Maksimum dan Minimum – Topik ini merupakan topik terakhir dari materi turunan. Pada topik ini, kalian akan belajar bagaimana memodelkan dan menyelesaiakan masalah yang melibatkan turunan.

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi sering disebut dengan nilai ekstrim. Nilai ekstrim dari fungsi y=f(x) diperoleh untuk x yang memenuhi persamaan f(x)=0.

Jika x=a adalah nilai x yang memenuhi persamaan f(x)=0, maka (a,f(a)) adalah titik ekstrim fungsi y=f(x) dan f(a) adalah nilai ekstrim fungsi y=f(x).

Nilai ekstrim ini akan merupakan nilai maksimum jika

  • f'(x) > 0 untuk x < a dan f'(x) < 0 untuk x > a

dan nilai ekstrim akan merupakan nilai minimum jika

  • f'(x) < 0 untuk x < a dan f'(x) > 0 untuk x > a


Contoh 1 :

Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang per hari dengan biaya x3 – 450×2 + 37500xrupiah. Berapa unit barang yang harus diproduksi setiap harinya supaya biaya produksi menjadi minimal?

Penyelesaian :

Misalkan biaya produksi per hari adalah p(x), maka biaya produksi akan minimum untuk nilai x yang memenuhi persamaan p(x)=0 dan p′′(x)>0.

p(x)=0

3x2900x+37500=0

x2300x+12500=0

(x50)(x250)=0

x=50 atau x=250

Oleh karena p′′(x)=6x900 dan p′′(250)=6(250)900=600>0 maka jumlah barang yang harus diproduksi tiap harinya agar biaya minimum adalah 250 unit.


Contoh 2 :

Sebuah bola tenis ditembakkan ke atas. Jika tinggi bola tenis (cm) dari permukaan tanah setelah t detik dirumuskan dengan h(t)=120t5t2, maka tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tenis tersebut!

Penyelesaian :

Bola tenis akan mencapai ketinggian maksimum dari permukaan tanah untuk t yang memenuhi h(t)=0.

h(t)=0

12010t=0

10t=120

t=12

Selanjutnya, dengan mensubtitusikan t=12 ke h(t) diperoleh

h(12)=120(12)5(12)2=720.

Dengan demikian, tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tenis adalah 720 cm.


Contoh 3 :

Sebuah perusahaan peralatan dapur memproduksi x unit barang dengan biaya (x270x+250) ribu rupah. Jika pendapatan setelah semua barang habis terjual adalah [important]100x ribu rupiah, maka hitung keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut!

Penyelesaian :

Misalkan keuntungan perusahaan adalah f(x), maka

f(x)= pendapatan – biaya produksi

f(x)=100x(x270x+250)

f(x)=x2+170x250

Keuntungan maksimum akan diperoleh untuk nilai x yang memenuhi f(x)=0.

f(x)=0

2x+170=0

2x=170

x=85

Besar keuntungan pada saat x=85 adalah f(85)=85270(85)+250=175.

Jadi, keuntungan maksimum perusahaan adalah 175.000 rupiah.

Itulah artikel Penerapan Turunan dalam Masalah Maksimum dan Minimum. Semoga bisa bermanfaat bagi Anda, baca juga artikel terkait lainnya.

Penerapan Turunan dalam Masalah Maksimum dan Minimum | lookadmin | 4.5