Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi – Alfarabi mendayung perahunya menuju ke seberang sungai. Kecepatan gerak perahunya terhadap waktu t dapat dinyatakan dengan fungsi V (t) = 2t2 – 17t + 15, t dalam detik. Kapan kecepatan perahunya ini maksimum? Kecepatan gerak perahu tersebut merupakan fungsi kuadrat. Ketika mempelajari topik fungsi kuadrat di kelas X, kamu telah mengetahui bahwa nilai maksimumnya merupakan puncak grafik parabola fungsi itu.

        Bagaimana dengan fungsi-fungsi lainnya? Dengan menggunakan turunan, kamu akan dapat menentukan nilai maksimumnya. Begitu pula dengan nilai minimumnya. Pada topik berikut ini, kamu akan mempelajarinya. Simak dengan saksama ya.

KONSEP

Coba perhatikan kembali grafik fungsi f (x) = 4xx2 yang telah disajikan pada topik fungsi naik dan fungsi turun.

Dalam topik itu telah kita bahas mengenai definisi fungsi naik dan fungsi turun, yaitu sebagai berikut.

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Misalkan fungsi f didefinisikan pada Df.

  1. Fungsi f dikatakan fungsi naik pada Df jika dan hanya jika untuk setiap x1, x2Df , dengan x1 < x2 menyebabkan f(x1) < f(x2).
  2. Fungsi f dikatakan fungsi turun pada Df jika dan hanya jika untuk setiap x1, x2Df , dengan x1 < x2 menyebabkan f(x1) > f(x2).

Dengan menggunakan konsep turunan, kita juga dapat menentukan fungsi naik dan fungsi turun menggunakan Teorema Kemonotonan berikut.

Teorema Kemonotonan

Misalkan fungsi f didefinisikan dan mempunyai turunan pada Df.

  1. Jika f ‘(x) > 0 untuk xDf , maka fungsi f dikatakan fungsi naik pada Df.
  2. Jika f ‘(x) < 0 untuk xDf , maka fungsi f dikatakan fungsi turun pada Df.
  3. Jika f ‘(x) = 0 untuk xDf , maka fungsi f dikatakan fungsi stasioner pada Df.

Ayo, perhatikan kembali grafik fungsi f(x) = 4xx2 .

Pada titik A, kamu mendapatkan nilai fungsi terbesar dari semua nilai fungsi untuk setiap xDf. Nilai terbesar dari fungsi ini disebut nilai maksimum fungsi. Sebaliknya, nilai terkecil dari fungsi disebut nilai minimum fungsi.

Misalkan fungsi f kontinu dan mempunyai turunan pada interval tertutup Df dan cDf .

  1. Jika f(c) ≥ f(x) untuk setiap xDf , maka f(c) disebut nilai fungsi maksimum fungsi f(x).
  2. Jika f(c) ≤ f(x) untuk setiap xDf , maka f(c) disebut nilai fungsi minimum fungsi f(x).

        Dimanakah kamu mungkin menemukan nilai maksimum dan minimum fungsi ini? Nilai-nilai tersebut dapat kamu temukan pada titik kritis fungsi dan pada titik-titik ujung interval. Titik kritis adalah titik stasioner dan titik yang turunannya tidak ada.

        Jika kamu mendapatkan titik kritis fungsi, yaitu bila f ‘(c) = 0 atau f ‘(c) tidak ada untuk cDf maka dengan melakukan uji turunan kedua, f “(c), kamu dapat mengetahui apakah f(c) merupakan nilai maksimum atau minimum.

Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi

Misalkan fungsi f kontinu dan mempunyai turunan pertama dan turunan kedua pada interval Dfyang memuat x = c dan f ‘(c) = 0 atau f ‘(c) tidak ada.

  1. Jika f “(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum fungsi f.
  2. Jika f “(c) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum fungsi f.
  3. Jika f “(c) = 0, maka nilai stasioner f(c) belum dapat ditentukan. Dalam kasus f “(c) = 0, penentuan jenis-jenis nilai stasioner kembali menggunakan uji turunan pertama.

Contoh

Diketahui fungsi f(x) = x3 + 1, untuk xR.

1. Coba tentukan titik stasioner fungsi f.

2. Coba tentukan titik balik maksimum dan titik balik minimum.

Penyelesaian:

1. Dari f(x) = x3 + 1, diperoleh f ‘(x) = 3x2 .

Syarat titik stasioner adalah f ‘(x) = 0.

Akibatnya, 3x2 = 0. Diperoleh x = 0.

Untuk mendapatkan nilai stasioner fungsi f, substitusi x = 0 ke fungsi f.

f (0) = 03 + 1 = 1

Nilai stasioner fungsi f adalah f (0) = 1 sehingga titik stasionernya (0,1).

2. Dari f ‘(x) = 3x2 diperoleh f ”(x) = 6x.

Pada jawaban 1, kamu telah mendapatkan f ‘(x) = 0 dipenuhi untuk x = 0.

Oleh karena f ”(0) = 6.0 = 0 maka f tidak memiliki titik balik maksimum dan titik balik minimum.

Mudah bukan? Agar pemahaman kalian bertambah, yuk kerjakan latihan soal-soal yang ada.

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi | lookadmin | 4.5