Menggunakan Turunan Fungsi dalam Titik Stasioner

Menggunakan Turunan Fungsi dalam Titik Stasioner – Dalam topik sebelumnya kalian telah belajar tentang bagaimana menentukan titik stasioner. Nah, dalam topik ini kalian akan belajar mengenai penggunaan titik stasioner untuk memecahkan masalah. Namun sebelumnya kalian akan belajar dahulu tentang bagaimana cara menentukan titik stasioner dengan menggunakan turunan kedua.

Biasanya fungsi yang ingin kita maksimum dan minimumkan akan mempunyai suatu interval sebagai daerah asalnya. Beberapa interval ini mempunya titik ujung. Jika terdapat x = cdengan f'(c)= 0, maka (c,f(c)) disebut titik stasioner. Selanjutnya, Jika c adalah titik dalam dari interval tersebut dan f(c) tidak ada (tidak terdefinisi), maka (c,f(c)) disebut titik singular.


Definisi

Diberikan fungsi y = f(x) yang kontinu dan dapat diturunkan (differentiable) di x = c.
Fungsi y = f(x) memiliki nilai stasioner f(c) jika f’(c) = 0 dan titik (c, f(c)) disebut titik stasioner.


Apakah kalian masih ingat cara menentukan nilai stasioner dengan uji turunan pertama?

Mari kita mengingat kembali melalui contoh berikut ini.


Contoh 1 :

Jika diberikan fungsi f(x) = x3 – 3×2 maka diperoleh hasil sebagai berikut :

  1. f’(x) = 3×2 – 6x
  2. f’(x) = 0 <=> x = 0 atau x = 2
  3. f(0) = 0 dan f(2) = -4

Dengan demikian, titik stasioner dari f(x) = x3 – 3×2 adalah (0,0) dan (2,-4).

Selanjutnya, karena f(0) > f(2) , maka titik (0,f(0)) = (0,0) dinamakan titik balik maksimum lokal dan titik (2,f(2)) = (2,-4) dinamakan titik balik minimum lokal.


Sebenarnya jenis titik stationer dapat ditentukan dengan lebih mudah melalui uji turunan kedua. jenis titik stasioner dapat ditentukan sebagai berikut :

  • Jika f’’(c) < 0 dan f(c) adalah nilai maksimum lokal fungsi f(x), maka titik (c , f(c)) adalah titik balik maksimum lokal grafik fungsi f(x)

  • Jika f’’(c) > 0 dan f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), maka titik (c , f(c)) adalah titik balik minimum lokal grafik fungsi f(x)

  • Jika f’’(c) = 0 maka jenis nilai stasioner hanya dapat ditentukan dengan menggunakan uji turunan pertama


Mari kita cermati contoh berikut ini untuk menambah pemahaman kalian.


Contoh 2 :

Tentukan jenis nilai stasioner fungsi f(x) = x3 – 6×2 + 9x + 1 dengan menggunakan uji turunan kedua!

Penyelesaian :

Oleh karena f(x) = x3 – 6×2 + 9x + 1 , maka

  • f’(x) = 3×2 – 12x + 9
  • f’’(x) = 6x – 12

f'(x) = 0
<=> 3(x – 1)(x – 3) = 0
<=> x = 1 atau x = 3

Berdasarkan uraian di atas, maka absis dari titik stationer fungsi f adalah x = 1 atau x = 3.

Selanjutnya, karena

  • f’’(1) = -6 < 0
  • f’’(3) = 6 > 0

maka f(1) = 5 adalah nilai maksimum lokal fungsi f dan f(3) = 1 adalah nilai minimum lokal fungsi f.


Contoh 3 :

Tentukan jenis nilai stasioner fungsi f(x) = x3 + x2 – x + 1 dengan menggunakan uji turunan kedua!

Penyelesaian :

Oleh karena f(x) = x3 + x2 – x + 1 , maka

  • f’(x) = 3×2 + 2x – 1
  • f’’(x) = 6x + 2

f'(x) = 0
<=> (3x – 1)(x + 1) = 0
<=> x = 1/3 atau x = -1

Berdasarkan uraian di atas, maka absis dari titik stationer fungsi f adalah x = 1/3 atau x = -1

Selanjutnya, karena

  • f’’(1/3) = 4 > 0
  • f’’(-1) = -4 < 0

maka f(1/3) adalah nilai minimum lokal fungsi f dan f(-1) adalah nilai maksimum lokal fungsi f. Adapun nilai f(1/3) dan f(-1) adalah sebagai berikut :

  • f(1/3) = (1/3)3 + (1/3)2 – (1/3) + 1 = 40/27
  • f(-1) = (-1)3 + (-1)2 – (-1) + 1 = 2


Apakah sekarang kalian sudah paham? Ayo kerjakan latihan soal yang ada!

Itulah artikel Menggunakan Turunan Fungsi dalam Titik Stasioner. Semoga bisa bermanfaat bagi Anda, baca juga artikel terkait lainnya.

Menggunakan Turunan Fungsi dalam Titik Stasioner | lookadmin | 4.5