Close Klik 2x

Kekontinuan Fungsi

Advertisement

Kekontinuan Fungsi – Kamu tentunya tidak asing lagi dengan penggunaan kata kontinu dalam kehidupan sehari-hari.Kata ini biasanya digunakan untuk menggambarkan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak di dalamnya. Sebagai contoh, pertambahan kecepatan dari benda yang jatuh bebas dari ketinggian tertentu merupakan suatu proses pertambahan yang kontinu, sedangkan saldo tabunganmu di bank yang jumlahnya bisa saja berubah secara mendadak bukanlah merupakan hal yang kontinu (diskontinu).

Agar kamu lebih memahami perbedaan antara kontinu dan diskontinu, contoh dari perubahan kecepatan benda yang jatuh bebas dan perubahan saldo tabungan dapat dijelaskan melalui tabel berikut.

Mari amati grafik berikut. Kedua grafik ini menjelaskan perbedaan mendasar antara hal yang bersifat kontinu dan diskontinu.

Dari gambar di atas terlihat bahwa grafik fungsi yang kontinu tidak memiliki celah. Dengan kata lain, limit di sebarang titik sama dengan nilai fungsi di titik tersebut. Selanjutnya, mari pelajari kekontinuan dalam cakupan yang lebih khusus yaitu kekontinuan pada fungsi.

Pengertian Kekontinuan Fungsi

Kekontinuan suatu fungsi dapat dilihat dari grafiknya. Pada kasus benda jatuh bebas, kecepatan benda dapat ditentukan pada sebarang waktu, sedangkan pada kasus saldo tabungan, kita tidak dapat menentukan jumlah saldo pada sebarang waktu tanpa melihat rincian dari transaksi yang telah dilakukan. Penggunaan grafik untuk menentukan kekontinuan fungsi kontinu kurang efisien, sehingga kita memerlukan suatu definisi yang secara tepat menjelaskan tentang kekontinuan fungsi.

Definisi Kekontinuan Fungsi di Suatu Titik
Misalkan suatu fungsi f (x) terdefinisi pada suatu domain yang meliputi c. f (x) dikatakankontinu di c apabila:

Jika syarat ini tidak terpenuhi, maka f (x) dikatakan diskontinu di c.

Dengan kata lain, definisi kekontinuan fungsi di c ϵ Ɍ tersebut harus memenuhi 3 hal berikut:

Berdasarkan definisi kekontinuan fungsi, diperoleh kekontinuan fungsi-fungsi yang sudah kita kenal sebagai berikut.

• Fungsi suku banyak
Fungsi suku banyak terdefinisi dan kontinu di setiap bilangan real c.

• Fungsi trigonometri
Fungsi sinus dan cosinus terdefinisi dan kontinu di setiap bilangan real c.

• Fungsi rasional (pecahan)
Fungsi rasional terdefinisi dan kontinu di setiap bilangan real c, kecuali titik c yang membuat penyebutnya menjadi nol.

• Fungsi akar pangkat n
Untuk n bilangan ganjil fungsi akar pangkat n terdefinisi dan kontinu di setiap bilangan real c, sedangkan untuk n bilangan genap fungsi terdefinisi dan kontinu disetiap bilangan real positifc.

Contoh 1

Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di x = 2.

Penyelesaian:

f (x) = x2x – 2

Mula-mula periksa apakah f (x) terdefinisi di x = 2.
Oleh karena f (x) terdefinisi untuk setiap x ϵ Ɍ, maka f (x) terdefinisi di x = 2.

Tentukan nilai f (2).
f (2) = 22 – 2 – 2 = 0.
Ini berarti:

Jadi, f (x) kontinu di x = 2.

g (x) = x1x2

Mula-mula periksa apakah f (x) terdefinisi di x = 2.
Oleh karena f (x) terdefinisi untuk setiap bilangan real x kecuali 2, maka f (x) tidak terdefinisi dix = 2.

Oleh karena f (x) tidak terdefinisi di x = 2, maka syarat kekontinuan tidak terpenuhi.

Jadi, f (x) tidak kontinu di x = 2

Kekontinuan Fungsi di Bawah Operasi Fungsi

Suatu fungsi baru dapat diperoleh dengan mengoperasikan beberapa fungsi yang ada. Operasi yang lazim digunakan berupa perkalian, pembagian, penjumlahan, pengurangan, pemangkatan, penarikan akar, dan komposisi. Fungsi baru mempunyai sifat yang sama dengan fungsi-fungsi asalnya.

Mari simak kekontinuan fungsi dibawah operasi fungsi berikut ini.
Misalkan f (x) dan g (x) adalah fungsi-fungsi yang kontinu di x = c, c ϵ Ɍ, maka:

k. f (x) dan k. g (x) dengan k adalah konstanta, kontinu di c.

f (x). g (x) kontinu di c.

f(x)g(x) kontinu di c dengan g (c) ≠ 0.

f (x) + g (x) kontinu di c.

f (x) – g (x) kontinu di c.

f n (x) dan gn (x) dengan n bilangan asli, kontinu di c.

f(x)−−−−√n dan g(x)−−−−√n kontinu jika f (c) dan g (c) positif dan n bilangan genap.

• (f o g) (x) dan (g o f) (x) kontinu di c.

Contoh 2

Tentukan kekontinuan fungsi-fungsi berikut dititik yang diberikan.
f (x) = (x2 – 1) (x + 2) di x = 3
f (x) = tan x di x = π2

Penyelesaian:

f (x) = (x2 – 1) (x + 2)

Fungsi f (x) = (x2 – 1) (x + 2) dapat dipandang sebagai perkalian dua fungsi yang masing-masing merupakan fungsi yang kontinu di setiap x = c, c ϵ Ɍ. Berdasarkan kekontinuan fungsi di bawah operasi fungsi, perkaliannya juga akan kontinu di setiap x = c, c ϵ Ɍ. Ini dibuktikan dengan saat x = 3 didapat:

Jadi, f (x) kontinu di x = 3.

f (x) = tan x

Fungsi f (x) = tan x dapat dipandang sebagai fungsi yang berasal dari pembagian dua fungsi yaitu f (x) = sinxcosx.

Saat x = π2, nilai dari fungsi ini melibatkan pembagian dengan nol, yaitu:

Ini berarti cos (π2) tidak memenuhi syarat penyebut ≠ 0.
Jadi, fungsi ini diskontinu di x = π2.

Kekontinuan Fungsi dalam Interval

Dari uraian di atas telah dipelajari cara menentukan kekontinuan fungsi pada suatu titik, namun bagaimanakah cara mengetahui kekontinuan fungsi pada suatu interval a < x < b ? Cara paling mudah untuk melihat kekontinuan fungsi yang dimaksud adalah dengan melihat grafik dari fungsi tersebut. Perhatikan grafik fungsi kontinu dan diskontinu berikut.

Grafik di atas menunjukan bahwa f (x) diskontinu dalam selang a < x < b pada saat x = c walaupun f (x) kontinu pada dua segmen interval yaitu a < x < c dan c < x < b. Dari kedua grafik ini dapat disimpulkan:

Apakah kamu sudah paham dengan penjelasan di atas? Agar kamu semakin paham, kerjakanlah soal-soal quiz berikut dengan penuh semangat. Selamat bekerja.

Kekontinuan Fungsi | lookadmin | 4.5