Close Klik 2x

KECEKUNGAN FUNGSI DAN TITIK BELOK

Advertisement

KECEKUNGAN FUNGSI DAN TITIK BELOK – Lamting melempar lembing melambung ke atas. Gerak lembing hasil lemparannya ini dinyatakan dengan fungsi h dalam t sebagai h = 24t – 6t2 . h dalam satuan meter, menyatakan ketinggian lembing di atas tanah setelah t detik. Bagaimanakah bentuk lintasan lembing ini? Kapankah lintasannya akan cekung ke atas atau cekung ke bawah? Dapatkah kamu menceritakan tentang perjalanan lembing tersebut? Kapankah ia akan melambung naik atau turun? Kapankah ketinggiannya maksimum atau minimum? Pertanyaan-pertanyaan tersebut berkaitan dengan perilaku grafik fungsi.

Konsep

Untuk mengetahui grafik fungsi naik atau turun, telah kamu pelajari pada topik sebelumnya, yaitu menggunakan uji turunan pertama dalam Teorema Kemonotonan.

 Teorema Kemonotonan 

Misalkan fungsi f didefinisikan dan mempunyai turunan pada Df.

  1. Jika f ‘(x) > 0 untuk xDf , maka fungsi f dikatakan fungsi naik pada Df.
  2. Jika f ‘(x) < 0 untuk xDf , maka fungsi f dikatakan fungsi turun pada Df.
  3. Jika f ‘(x) = 0 untuk xDf , maka fungsi f dikatakan fungsi stasioner pada Df.

        Untuk mengetahui maksimum atau minimum grafik fungsi juga telah kamu pelajari pada topik sebelumnya, yaitu menggunakan uji turunan kedua.

 Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi 

Misalkan fungsi f kontinu dan mempunyai turunan pertama dan turunan kedua pada interval Dfyang memuat x = c dan f ‘(c) = 0 atau f ‘(c) tidak ada.

  1. Jika f “(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum fungsi f.
  2. Jika f “(c) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum fungsi f.
  3. Jika f “(c) = 0, maka nilai stasioner f(c) belum dapat ditentukan. Dalam kasus f “(c) = 0, penentuan jenis-jenis nilai stasioner kembali menggunakan uji turunan pertama.

        Bagaimana dengan kecekungannya? Coba ingat kembali tentang kecekungan grafik fungsi kuadrat yang dinyatakan dalam bentuk umumnya f(x) = ax2 + bx + c yang telah kamu pelajari di kelas X.

        Pada fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, jika a > 0 maka grafik fungsi f(x) cekung ke atas dan jika a < 0 maka grafik fungsi f(x) cekung ke bawah.

Sekarang, perhatikan turunan kedua dari f(x) tersebut.

f ‘(x) = 2ax + bf ”(x) = 2a

  • Jika a > 0 maka f ”(x) > 0. Ini berarti, jika f ”(x) > 0 maka grafik fungsi f(x) cekung ke atas.
  • Jika a < 0 maka f ”(x) < 0. Ini berarti, jika f ”(x) < 0 maka grafik fungsi f(x) cekung ke bawah.

Secara umum, teorema tentang kecekungan grafik fungsi ini sebagai berikut.

 Kecekungan Grafik Fungsi 

Misalkan fungsi f kontinu dan mempunyai turunan pertama dan turunan kedua pada selang Df.

  1. Jika f “(x) > 0 pada selang Df, maka grafik fungsi f(x) cekung ke atas
  2. Jika f “(x) < 0 pada selang Df, maka grafik fungsi f(x) cekung ke bawah

        Jika terjadi perubahan kecekungan grafik fungsi dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya, dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas melalui sebuah titik tertentu, maka titik tersebut dinamakan titik belok.

 Definisi Titik Belok 

Titik (c, f(c)) disebut titik belok fungsi f jika pada titik itu fungsi f kontinu dan terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya.

Langkah-langkah untuk mengenali titik belok adalah sebagai berikut.

  1. Tentukan f ”(x). Kemudian, carilah c yang menyebabkan f ”(c) = 0 atau f ”(c) tidak ada.
  2. Tentukan sifat kecekungan grafik fungsi f di sekitar nilai c.
  3. Jika terjadi perubahan kecekungan—cekung ke bawah menjadi cekung ke atas atau sebaliknya—maka titik (c, f(c)) merupakan titik belok fungsi f.

Contoh

Diketahui fungsi f(x) = x3 + 1, untuk x ∈ R.

a. Coba tentukan batas-batas nilai x supaya grafik f cekung ke atas dan grafik f cekung ke bawah.

b. Coba tentukan titik belok fungsi f.

Jawab:

a. Dari f(x) = x3 + 1, diperoleh f ‘(x) = 3x2 .

Dari f ‘(x) = 3x2 , diperoleh f ”(x) = 6x.

f ”(x) = 6x > 0 untuk x > 0, sehingga grafik f cekung ke atas untuk x > 0.

f ”(x) = 6x < 0 untuk x < 0, sehingga grafik f cekung ke bawah untuk x < 0.

f ”(x) = 6x = 0 untuk x = 0.

Untuk x = 0, f(0) = 1. Diperoleh titik (0, 1) sebagai calon titik belok.

b. Oleh karena terjadi perubahan kecekungan pada titik (0,1), maka titik (0,1) merupakan titik belok fungsi f.

Sekarang, tentu kalian telah paham tentang topik ini. Agar pemahaman kalian bertambah, yuk kerjakan latihan soal-soal yang ada.

KECEKUNGAN FUNGSI DAN TITIK BELOK | lookadmin | 4.5