Close Klik 2x

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Suku Banyak

Advertisement

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Suku Banyak – Sampai juga kita pada topik terakhir dari modul suku banyak. Jika pada topik sebelumnya kalian telah belajar tentang teorema faktor dan penyelesaian persamaan suku banyak, pada topik kali ini kalian akan belajar tentang jumlah dan hasil kali akar-akar suku banyak.

Sebelum kalian belajar tentang jumlah dan hasil kali akar-akar suku banyak, mari kita ingat kembali materi pada topik sebelumnya, yaitu penyelesaian persamaan suku banyak.

 Penyelesaian Persamaan Suku Banyak 

Misalkan terdapat sebuah suku banyak P (x) dengan bentuk P (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0, (xk) adalah faktor dari P (x) jika k adalah akar atau penyelesaian dari persamaan P (k) = 0.

Selanjutnya, mari kita ingat juga tentang Teorema Fundamental Aljabar berikut ini.

 Teorema Fundamental Aljabar 

“Jika suku banyak P (x) berderajat n, maka persamaan P (x) maksimum mempunyai n buah penyelesaian”

Bagaimana? Apakah kalian sudah mengingatnya? Baiklah, agar kalian ingat kembali, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari suku banyak P (x) = x2 – 2x – 3.

Penyelesaian:

P (x) adalah suku banyak berderajat 2 sehingga P (x) maksimum mempunyai 2 penyelesaian. Penyelesaian dari P (x) = x2 – 2x – 3 dapat dicari dengan memeriksa faktor dari suku konstannya yaitu ±1 dan ±3. Jika faktor-faktor tersebut kita subsitusikan dalam persamaan suku banyak dan menghasilkan nilai nol, maka nilai yang disubsitusikan merupakan salah satu penyelesaiannya.

Untuk P (1)

P (1) = (1)2 – 2 (1) – 3 = -4

Oleh karena P (1) ≠ 0, maka dapat disimpulkan 1 bukan merupakan penyelesaian dari suku banyak P (x).

Untuk P (-1)

P (-1) = (-1)2 – 2 (-1) – 3 = 0

Oleh karena P (-1) = 0, maka dapat disimpulkan -1 merupakan akar dari suku banyak P (x).

Untuk P (3)

P (3) = (3)2 – 2 (3) – 3 = 0

Oleh karena P (3) = 0, maka dapat disimpulkan 3 merupakan akar dari suku banyak P (x).

Untuk P (-3)

P (-3) = (-3)2 – 2 (-3) – 3 = 12

Oleh karena P (-3) ≠ 0, maka dapat disimpulkan -3 bukan merupakan akar dari suku banyak P(x).

Jadi, penyelesaian dari P (x) = x2 – 2x – 3 adalah x = -1 dan x = 3.

Nah, setelah kalian paham betul tentang penyelesaian persamaan suku banyak, mari kita belajar tentang jumlah dan hasil kali akar-akar suku banyak.

 

A. Persamaan suku banyak berderajat dua

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat dengan bentuk ax2 + bx + c, diperoleh bentuk kesamaan :

ax2 + bx + c ≡ (xx1) (xx2)

x2+bax+cax2x x2x x1 + x1x2 = x2 – (x1 + x2) + x1x2

dengan demikian, berlaku:

x1 + x2 = –ba

x1.x2 = ca

B. Persamaan suku banyak berderajat tiga

Jika x1, x2 dan x3 adalah akar-akar persamaan dengan bentuk ax3 + bx2 + cx + d, diperoleh bentuk kesamaan :

ax3 + bx2 + cx + d ≡ (xx1) (xx2) (xx3)

x3+bax2+cax+dax3 – (x1 + x2 + x3) x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3) x – (x1x2x3)

dengan demikian, berlaku:

x1 + x2 + x3 = –ba

x1x2 + x1x3 + x2x3 = ca

x1x2x3 = –da

C. Persamaan suku banyak berderajat empat

Jika x1, x2, x3 dan x4 adalah akar-akar persamaan dengan bentuk ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, maka berlaku:

x1 + x2 + x3 + x4 = –ba

x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = ca

x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = –da

x1x2x3x4 = ea

Contoh

Contoh 1:

Diketahui sebuah persamaan x3 – 4x2 – 18x + 36 = 0, tentukanlah:

a. x1 + x2 + x3

b. x1x2 + x1x3 + x2x3

c. x1x2x3

Penyelesaian:

Untuk menjawab soal tersebut, gunakan konsep jumlah dan hasil kali akar-akar suku banyak yang telah dijelaskan sebelumnya. Bentuk persamaan x3 – 4x2 – 18x + 36 = 0 mempunyai nilai a= 1, b = -4, c = -18, dan d = 36.

a. x1 + x2 + x3 = –ba = –(4)1 = 4

b. x1x2 + x1x3 + x2x3 = ca = (18)1 = -18

c. x1x2x3 = –da = –361 = -36

Contoh 2:

Akar-akar persamaan x3 – 4x2 – 18x + p = 0 adalah x1, x2, dan x3. Jika diketahui x1x2x3 = -36. Tentukan nilai p.

Penyelesaian:

Persamaan x3 – 4x2 – 18x + p = 0 merupakan persamaan suku banyak berderajat 3 dengan nilaia = 1, b = -4, c = -18, dan d = p. Berdasarkan konsep jumlah dan hasil kali akar-akar suku banyak, diketahui:

x1x2x3 = –da

Pada soal diketahui x1x2x3 = -36, sehingga diperoleh:

x1x2x3 = –da

     -36 = –da

     -36 = –p1

       p = 36

Jadi, nilai p = 36.

Mudah bukan? Agar pemahaman kalian bertambah, yuk kerjakan latihan soal-soal yang ada.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Suku Banyak | lookadmin | 4.5