Fungsi Logaritma dan Penerapannya

Advertisement

Fungsi Logaritma dan Penerapannya – Pernahkah kamu mendengar pemberitaan di media massa tentang gempa bumi? Dalam pemberitaan tersebut biasanya disebutkan besarnya kekuatan gempa dalam satuan skala richter.

Penemuan skala richter merupakan salah satu sumbangsih matematika bagi kehidupan manusia. Perhitungan kekuatan gempa dengan skala richter menggunakan penerapan fungsi logaritma. Penerapan fungsi logaritma tidak hanya terbatas pada perhitungan kekuatan gempa, tetapi juga pada permasalahan pertumbuhan penduduk, penyebaran CO2 di bumi, efek rumah kaca, penentuan taraf intensitas gelombang bunyi dan sebagainya. Apa itu fungsi logaritma? Bagaimana penerapannya? Mari simak uraian berikut.

Fungsi logaritma merupakan kebalikan (invers) dari fungsi eksponen yang telah dipelajari pada topik sebelumnya. Fungsi logaritma didasarkan pada logaritma yang telah dipelajari di kelas X. Mari kita ingat kembali tentang logaritma.

Definisi Logaritma
p log a = n jika dan hanya jika pn = a
p disebut bilangan pokok, syaratnya p > 0 dan p ≠ 1.
a disebut numerus, syaratnya a > 0
n disebut hasil logartima

Sifat-Sifat Logaritma
Jika a > 0 dan a ≠ 1, p > 0 dan p ≠ 1, x > 0 dan y > 0, maka berlaku hubungan:

Dengan berbekal pengetahuan tentang logaritma, mari pelajari lebih lanjut tentang fungsi logaritma.

Definisi Fungsi Logaritma

Invers dari fungsi eksponen y = f (x) = kax untuk a > 0 dan a ≠ 0 adalah fungsi logaritma.

Bila a > 0 dan a ≠ 0 maka fungsi yang didefinisikan oleh g (x) = a log x dengan x > 0 dinamakan fungsi logaritma.

Fungsi logaritma dapat ditulis dalam bentuk f (x) = a log x atau y = a log x atau y = loga x seperti contoh berikut ini.

f (x) = 2 log x
y = log x (khusus untuk bilangan pokok 10)
g (x) = log3 x

Sifat-Sifat Fungsi Logaritma

• Diketahui fungsi logaritma y = f (x) = a log x, maka daerah asalnya (domain) adalah himpunan semua bilangan nyata positif, Df ={x | x > 0, x ϵ Ɍ}.

• Daerah hasilnya (range) adalah himpunan seluruh bilangan nyata, Rf = {y | y ϵ Ɍ}.

• Seluruh grafiknya selalu berada di sebelah kanan sumbu y.

• Fungsinya bersifat satu-satu.

• Bila a > 1, maka fungsi merupakan fungsi naik dan bila 0 < a < 1, maka fungsinya merupakan fungsi turun.

• Invers dari y = a log x dan y = ax dan sebaliknya.

• Grafik y = a log x merupakan bayangan cermin dari grafik y = ax terhadap garis y = x dan sebaliknya.

• Asimtot tegaknya adalah garis x = 0..

Bentuk-Bentuk Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma dibagi menjadi bentuk dua, yaitu:

Bentuk f (x) = a log x dengan a > 1.

Fungsi logaritma f (x) = a log x dengan a > 1 merupakan fungsi monoton naik, sebab jika x1 < x2maka a log x1 < a log x2.

Bentuk di atas dapat dinyatakan dalam pertidaksamaan yang lebih umum, sebagai berikut.

Bentuk f (x) = a log x dengan 0 < a < 1.

Fungsi logaritma f (x) = a log x dengan 0 < a < 1 merupakan fungsi monoton turun, sebab jika x1> x2 maka a log x1 > a log x2.

Bentuk di atas dapat dinyatakan dalam pertidaksamaan yang lebih umum sebagai berikut:

Penerapan Fungsi Logaritma

Menghitung pH

Fungsi logaritma sering ditemui penggunaannya di bidang kimia dan sains, seperti menghitung nilai pH suatu senyawa kimia. Para ilmuwan mendefinisikan potensial hidrogen sebagai berikut:

pH = – log [H + ]

Dengan [H+ ] adalah konsentrasi dari ion hidrogen dalam mol per liter suatu larutan. Nilai pHmerupakan sifat keasamaan atau sifat alkali suatu senyawa. Nilai pH air sama dengan 7. Secara umum senyawa alkali mempunyai pH lebih dari 7 dan senyawa asam mempunyai pHkurang dari 7.

Menghitung Taraf Intensitas Bunyi

Taraf intensitas bunyi (TI ) diukur dalam satuan desibel yang dinyatakan dengan:

TI = 10. log (II0)

Dengan I0 adalah intensitas bunyi minimal yang dapat didengar manusia, I adalah intensitas bunyi dan TI adalah taraf intensitas bunyi. Satuan intensitas bunyi adalah desibel. Dalam satuan yang lebih besar, satuan bel lebih sesuai digunakan, yaitu 10 desibel sama dengan 1 bel.

Mari kita cermati beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1

Konsentrasi ion hidrogen [H+ ] dari sebuah larutan adalah 6,4 x 10 -7 . Tentukan pH larutan tersebut.

Penyelesaian:

Contoh 2

Tingkat kebisingan jalan di luar aula konser di pusat kota Jakarta diukur sekitar 7 bel. Dengan menggunakan bahan penyekat khusus, tingkat kebisingan di dalam aula konser berkurang menjadi 29 desibel. Berapa kali lebih besar intensitas bunyi di luar daripada di dalam aula konser?

Penyelesaian:

Diketahui:
TIx = taraf intensitas bunnyi di luar aula = 7 bel = 70 desibel
TIy = taraf intensitas bunnyi di dalam aula = 29 desibel

Misalkan:
Ix = intensitas bunyi di luar aula
Iy = intensitas bunyi di dalam aula

Ini berarti:

Kurangkan kedua persamaan, diperoleh:

Jadi, Intensitas bunyi di luar sekitar 12.600 kali lebih besar daripada di dalam aula konser.

Contoh 3

Tuliskan fungsi eksponen di bawah ini dalam bentuk fungsi logaritma.

Penyelesaian:

Oleh karena fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen, maka tentukan invers dari fungsi eksponen untuk mengubah bentuknya menjadi fungsi logaritma.

Dengan demikian, x = f -1 (y) = 5 log (2y – 1).

Ganti setiap variabel y dengan x, sehingga diperoleh f -1 (x) = 5 log (2x – 1).

Contoh 4

Tentukan konsentrasi ion hidrogen dalam minuman ringan jika pH nya 4,82.
Penyelesaian:

Penyelesaian:

Apakah kamu sudah paham dengan penjelasan di atas? Ayo tingkatkan pemahamanmu tentang fungsi logaritma dan penerapannya dengan mengerjakan soal-soal quiz berikut. Selamat bekerja.

Advertisement
Fungsi Logaritma dan Penerapannya | lookadmin | 4.5