Close Klik 2x

Barisan dan Deret Geometri

Advertisement

Barisan dan Deret Geometri – Jika pada topik sebelumnya kalian telah belajar tentang barisan bilangan, pada topik ini kalian akan belajar tentang barisan dan deret geometri. Barisan bilangan merupakan susunan bilangan yang teratur dan membentuk sebuah pola. Barisan bilangan dapat membentuk barisan geometri dengan syarat tertentu. Pada barisan aritmetika, syarat barisan bilangan menjadi barisan aritmetika yaitu jika beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap. Lantas, apa syarat untuk barisan geometri? Untuk menemukan jawabannya, yuk simak dengan baik topik ini.

 BARISAN GEOMETRI 

Jika U₁, U₂, U₃, U₄, …, Un-1, Un adalah suatu barisan bilangan dengan U2U1=U3U2=UnUn1=r, maka barisan bilangan tersebut dinamakan barisan geometri, dengan:

U₁ adalah suku ke-1

U₂ adalah suku ke-2

U₃ adalah suku ke-3

U₄ adalah suku ke-4

Un adalah suku ke-n

r adalah rasio yang sifatnya konstan

n berupa bilangan asli

Barisan geometri merupakan barisan bilangan dengan rasio antara dua suku berurutan adalah tetap.

Adapun sifat khusus barisan geometri adalah apabila bilangan a, b, c adalah barisan geometri, maka berlaku b2 = ac.

Contoh:

Barisan bilangan 1, 2, 4, 8, 16, 32, … termasuk barisan geometri karena mempunyai rasio yang sama di setiap dua suku berurutannya yaitu U2U1=U3U2=21=42=2.

 SUKU KE-n BARISAN GEOMETRI (Un) 

Misalkan suku pertama barisan geometri adalah a dan rasio antara suku yang berdekatan adalah r, maka barisan geometri dapat dituliskan menjadi a, ar, ar2, ar3, ar4, …, arn-1 .

Rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = arn-1 dengan:

Un adalah suku ke-n

a adalah suku pertama

r adalah rasio yang sifatnya konstan

n berupa bilangan asli.

Contoh:

Diketahui barisan geometri: 3, 6, 12, …. Tentukan suku ke-8.

Jawab:

Diketahui:

a = 3

r=U3U2=U2U1=126=63=2.

Dengan menggunakan rumus suku ke-n barisan geometri, diperoleh:

Un = arn-1

U8 = ar8-1

     = 3 x 27

     = 3 x 128

     = 384

Jadi, suku ke-8 dari barisan geometri tersebut adalah 384.

 SISIPAN BARISAN GEOMETRI (Un) 

Apabila dalam suatu barisan geometri disisipkan k buah bilangan sehingga membentuk barisan geometri yang baru, maka rasio yang baru dapat dicari dengan: Rbaru=Rlama−−−−−√k+1.

Contoh:

Diketahui barisan geometri : 2, 16, 128, …. Jika diantara suku-suku barisan tersebut kita sisipkan 2 buah suku, maka tentukan barisan geometri baru yang terbentuk.

Jawab:

Rasio lama antara dua suku yang berurutan dari barisan geometri: 2, 16, 128, … adalah:

r=U2U1=U3U2=162=12816=8

Oleh karena akan disisipkan 2 buah suku di antara suku-suku barisan tersebut, maka k = 2. Dengan demikian, rasio yang baru dapat di tentukan sebagai berikut.

Rbaru=Rlama−−−−−√k+1

Rbaru=82+1

Rbaru=83

Rbaru=2

Jadi, barisan geometri baru yang terbentuk adalah 2, 4, 8 16, 32, 64, 128.

 DERET GEOMETRI 

Jika U₁, U₂, U₃, U₄, …, Un-1, Un adalah barisan geometri, maka U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + … + Un-1 + Undisebut dengan deret geometri, dengan:

U₁ adalah suku ke-1

U₂ adalah suku ke-2

U₃ adalah suku ke-3

U₄ adalah suku ke-4

Un adalah suku ke-n

n berupa bilangan asli

Deret geometri merupakan jumlah suku-suku barisan geometri.

 JUMLAH n SUKU PERTAMA DERET GEOMETRI (Un) 

Apabila Sn menyatakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka:

Sn = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + … + Un

Untuk mencari rumus umum Sn, perhatikan penjelasan berikut.

Sn = a+ ar + ar2 + ar3 + ar4 + … + arn-1         persamaan (i)

Kedua ruas pada persamaan (i) kita kalikan dengan r menghasilkan persamaan (ii) berikut ini.

rSn = ar+ ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + … + arn         persamaan (ii)

Kita tentukan rumus Sn dengan cara mengurangkan persamaan (i) dan persamaan (ii).

Jadi, rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah sebagai berikut.

Sn=a(1rn)(1r), untuk r < 1 dan r ≠ 1 (deret turun)

Sn=a(rn1)(r1), untuk r > 1 dan r ≠ 1 (deret naik)

Contoh:

Terdapat suatu barisan geometri : 243, 27, 9, … . Tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut.

Jawab:

Diketahui:

a = 243

r=U2U1=U3U2=27243=927=13

Oleh karena r=13<1, maka:

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah 364.

Apakah kalian sudah paham tentang materi barisan dan deret geometri? Agar kalian lebih paham lagi, yuk perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Contoh

Contoh 1

Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah 105 dan hasil kali bilangan tersebut adalah 8000. Tentukan barisan bilangan tersebut.

Jawab:

Misalkan tiga buah bilangan yang membentuk barisan geometri tersebut adalah : pr,p,pr

Kita ambil pemisalan tersebut agar mudah ketika dikalikan karena diperoleh persamaan dalam satu peubah.

Oleh karena hasil kali bilangan tersebut adalah 8000, berarti:

pr×p×pr=8000

p3=8000

p=8000−−−−√3

p=20

Oleh karena jumlah tiga bilangan adalah 105, berarti:

pr+p+pr=105

20r+20+20r=105

20+20r+20r2=105r

20r285r+20=0

4r217r+4=0

(4r1)(r4)=0

r=14 atau r=4

Dengan demikian, diperoleh:

p = 20

r=14 atau r=4

Untuk r=14, barisan geometrinya adalah pr,p,pr=2014,20,20(14)=80,20,5.

Untuk r=4, barisan geometrinya adalah pr,p,pr=204,20,20(4)=5,20,80.

Contoh 2

Diketahui deret geometri : 12,32,412,...,109312. Tentukan jumlah suku deret tersebut.

Jawab:

Diketahui:

a = 12

r=U2U1=U3U2=3212=41232=3

Un=109312=21872

Dengan menggunakan rumus suku ke-n deret geometri, diperoleh:

Oleh karena suku 21872 merupakan suku ke-8 dan nilai r = 3, maka jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah sebagai berikut.

Jadi, jumlah deret geometri tersebut adalah 1640.

Mudah bukan topik ini? Agar pemahaman kalian bertambah, yuk kerjakan latihan soal-soal yang ada.

Barisan dan Deret Geometri | lookadmin | 4.5