Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan dan Deret Aritmetika – Pernahkah kalian memperhatikan agrometer ketika kalian naik taksi?

Angka yang tertera pada agrometer berubah secara periodik dalam jangka waktu tertentu dan dengan aturan tertentu. Jika kita catat perubahan angka pada agrometer, maka angka-angka tersebut akan membentuk barisan aritmetika.

Apa itu barisan aritmetika?
Yuk kita temukan jawabannya dalam topik ini.

BARISAN ARITMETIKA

Jika U1, U2, U3, … , Un – 1, Un adalah suku-suku dalam suatu barisan bilangan sedemikian hinggaU2U1 = U3U2 = … = UnUn – 1 = b, maka barisan bilangan tersebut dinamakan
barisan aritmetika.

Contoh 1:

  • 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 → selisih antara dua suku yang berdekatan adalah 3
  • 10 , 8 , 6 , 4 , 2 , 0 , -2 → selisih antara dua suku yang berdekatan adalah (-2)
  • -5 , 0 , 5 , 10 → selisih antara dua suku yang berdekatan adalah 5

① Rumus Suku Ke-n

Jika suku pertama dari barisan aritmetika adalah a dan selisih antara dua suku yang berdekatan adalah b, maka suku-suku dari barisan bilangan yang terbentuk adalah sebagai berikut:

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita tarik kesimpulan bahwa rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b, dimana

  • a adalah suku pertama
  • b adalah selisih antara dua suku yang berdekatan
  • n adalah banyak suku dalam barisan

Cukup mudah dimengerti bukan?
Yuk kita perhatikan contoh berikut.

Contoh 2:

Diketahui suatu barisan aritmetika dengan selisih antara dua suku yang berurutan adalah 3 dan suku kedua adalah 9. Berapakah suku ke-14 dari barisan tersebut?

Penyelesaian:

Oleh karena selisih antara dua suku yang berurutan adalah 3 dan suku kedua adalah 9, maka

  • b = 3
  • U2 = 9a + b = 9 ⇔ a + 3 = 9 ⇔ a = 6

Dengan demikian, U14 = a + 13b = 6 + 13(3) = 6 + 39 = 45.

② Rumus Suku Tengah

Suku tengah barisan aritmetika adalah suku yang letaknya berada di tengah.

Jika Ut adalah suku tengah, maka Ut=(a+Un2), dimana

  • a adalah suku pertama
  • Un adalah suku terakhir

Nah, bagaimana cara menentukan suku tengah?
Yuk kita perhatikan contoh berikut.

Contoh 3:

Diketahui barisan aritmetika 5, 7, …, 95. Tentukan suku tengah barisan tersebut.

Penyelesaian:

Oleh karena suku pertama dan suku terakhir dari barisan di atas berturut-turut adalah
5 dan 95, maka suku tengah dari barisan tersebut adalah Ut=(5+95)2=1002=50.

③ Sisipan

Jika diantara bilangan x dan y, dimana x ≠ y hendak disisipkan sebanyak k buah bilangan, maka agar terbentuk barisan aritmetika, kita perlu menentukan selisih antara dua suku yang berdekatan yang mana nilainya harus konstan.

Dalam uraian di atas, selisih antara dua suku yang berdekatan dari barisan aritmetika yang terbentuk adalah b=(yx)(k+1).
Agar kalian lebih paham, mari kita perhatikan dua contoh berikut.

Contoh 4:

Jika diantara bilangan 2 dan 17 hendak disisipkan 9 bilangan, sedemikian hingga terbentuk barisan aritmetika, maka tentukan selisih antara dua suku yang berurutan dari barisan bilangan yang terbentuk.

Penyelesaian:

Berdasarkan informasi dalam soal,

  • x = 2
  • y = 17
  • k = 9

Dengan demikian, selisih antara dua suku yang berurutan dari barisan bilangan yang terbentuk adalah

Contoh 5:

Diketahui barisan aritmetika: 0 , 4 , 8.
Jika diantara suku-suku barisan tersebut kita sisipkan 3 buah suku, maka tentukan selisih antara dua suku yang berurutan agar terbentuk barisan aritmetika.

Penyelesaian:

Selisih antara dua suku yang berurutan dari barisan aritmetika: 0 , 4 , 8 adalah b = 4 – 0 = 4.
Oleh karena akan disisipkan 3 buah suku diantara suku-suku barisan tersebut, maka k = 3.

Dengan demikian, selisih antara dua suku yang berurutan agar terbentuk barisan aritmetika setelah dilakukan penyisipan adalah

Nah, bagaimanakah barisan aritmetika yang terbentuk setalah dilakukan penyisipan?

Oleh karena selisih antara dua suku yang berurutan pada barisan yang baru adalah 1, maka barisan tersebut adalah 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8.

DERET ARITMETIKA

Jika U1, U2, U3, … , Un – 1, Un adalah suku-suku suatu barisan aritmetika, maka
U1 + U2 + U3 + … + Un disebut deret aritmetika.

Selanjutnya, jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, maka
U1 + U2 + U3 + … + Un = Sn.

Bagaimanakah rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika?
Yuk kita cermati penjelasan berikut.

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika adalah Sn=n2(a+Un).

Selanjutnya, karena rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b, maka rumus jumlah n suku pertama dapat kita tulis menjadi

Contoh 6:

Jika suku pertama dan suku terakhir dari suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 2 dan 78, maka berapakah jumlah 20 suku pertama dari deret aritmetika tersebut?

Penyelesaian:

Oleh karena suku pertama dan suku terakhir dari suatu deret aritmetika berturut-turut adalah
2 dan 78, maka

  • a = 2
  • Un = 78

Dengan demikian,

Jadi, jumlah 20 suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah 800.

Barisan dan Deret Aritmetika | lookadmin | 4.5