ATURAN RANTAI UNTUK MENCARI TURUNAN FUNGSI

Kamu sudah memahami bahwa turunan suatu fungsi didapat dengan memanfaatkan definisi turunan fungsi yaitu,

Penggunaan definisi tersebut cenderung mudah untuk fungsi tunggal yang sederhana, tetapi penggunaaanya menjadi lebih rumit, memakan waktu lama dan tentunya melelahkan apabila kamu diminta untuk menentukan turunan dari fungsi yang berderajat besar seperti f (x) = (x2 +x + 1)100 . Dengan menggunakan definisi, mula-mula kamu harus menjabarkan f (x) ke dalam suatu suku banyak berderajat 200, kemudian mencari turunan dari setiap suku yang ada satu per satu.

Setelah mempelajari topik ini, kamu tidak perlu khawatir jika diminta untuk menentukan turunan fungsi berderajat besar karena kamu akan mempelajari suatu metode (prosedur) penentuan turunan fungsi yang lebih ‘canggih’ dibanding metode-metode sebelumnya. Prosedur ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Jerman bernamaGottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) yang dikenal dengan nama Aturan Rantai.

       Sebelum kamu mempelajari aturan rantai, ada baiknya kamu mengenal terlebih dahulu notasi-notasi turunan fungsi.

Notasi Turunan Fungsi

Dalam penerapan aturan rantai, pemilihan notasi memainkan peranan yang cukup penting dalam penyederhanaan tampilan dari perhitungan yang akan dilakukan. Untuk suatu fungsi y =f (x) ada beberapa notasi yang lazim digunakan. Adapun notasi-notasi tersebut adalah.

  • f’ (x) merupakan Notasi Lagrange untuk menyatakan turunan pertama dari f (x) terhadapx.
  • dydx merupakan Notasi Leibniz untuk menyatakan turunan pertama dari fungsi y terhadapx.
  • Dxy merupakan Notasi Euler untuk menyatakan turunan pertama dari fungsi y terhadapx.

Dalam pembelajaran kali ini ketiga notasi di atas akan digunakan dalam contoh soal dan soal latihan. Notasi Lagrange dan Leibniz lebih umum digunakan. Namun, kamu boleh memilih notasi yang kamu anggap paling sederhana.

Aturan Rantai

Misalkan y = f (u) dan u = g (x), y memiliki turunan di u dan u memiliki turunan di x sehingga, fungsi komposisi y = (f o g) (x) = f (g (x)) memiliki turunan di x yaitu,

(f o g)’ (x) = f’ (g (x)) . g’ (x)

atau
dydx = dydu . dudx

atau bisa pula dipahami sebagai,
Dxy = Dxy

Dalam bahasa yang lebih sederhana, aturan rantai menyatakan bahwa turunan fungsi komposisi ditentukan dengan mengalikan fungsi terluar yang diturunkan terhadap fungsi di dalam (f’ (g (x)) dengan turunan dari fungsi di dalam (g’(x)).

       Aturan ini akan lebih mudah dipahami jika kamu mempelajari contoh berikut yang diselesaikan dengan menggunakan ketiga notasi yang telah diperkenalkan sebelumnya.

Contoh

Carilah turunan pertama dari fungsi y= (x2 + x + 1)100 terhadap x.

Penyelesaian:
Untuk mempermudah perhitungan, mula-mula kita misalkan u = g (x) = x2 + x +1 sehingga diperoleh y = f (u) = u100

Adapun turunan dari kedua fungsi ini adalah u’ = g’ (x) = 2x +1 dan y = f’ (u) = 100u99
Dengan Notasi Lagrange:

Dengan Notasi Leibniz:

Dengan Notasi Euler:

       Selanjutnya kamu boleh menggunakan salah satu dari ketiga notasi di atas untuk mencari turunan fungsi komposisi.

Penggunaan Aturan Rantai Berulang

        Aturan rantai adakalanya digunakan secara berulang untuk mencari turunan dari jenis fungsi tertentu. Pemahaman yang baik terhadap penggunaan aturan rantai berulang akan lebih memudahkan kamu dalam mencari turunan fungsi trigonometri yang dipelajari pada topik selanjutnya. Contoh berikut menunjukan bagaimana pengulangan aturan rantai diterapkan pada fungsi aljabar.

Contoh

Carilah turunan pertama dari fungsi y = (x2+2x−−−−−−√)5 terhadap x.

Penyelesaian:
Misalkan u = x2+2x−−−−−−√ maka, y=u5 sehingga dydu = 5u4

Perhatikan bahwa untuk menentukan dudx kita perlu menerapkan aturan rantai untuk fungsi usehingga, kita buat permisalan lain.

Untuk menentukan turunan y terhadap x, dengan menggunakan aturan rantai kita lakukan perhitungan berikut:

Kemudian disederhanakan menjadi,

Apabila kamu jeli melihat fungsi yang ada pada contoh diatas, kamu pasti berfikir bahwa soal semacam itu tidak perlu repot-repot diselesaikan dengan mengulang aturan rantai sebanyak dua kali. Aturan rantai bisa digunakan hanya sekali saja apabila fungsi dalam contoh soal disederhanakan terlebih dahulu menjadi:

Melalui pengecekan sendiri, kamu akan memperoleh hasil yang sama dengan solusi dari contoh soal di atas. Tujuan utama dari penyajian contoh soal yang demikian adalah untuk memahami penggunaan aturan rantai secara berulang dalam mencari turunan suatu fungsi. Pemahaman ini sangat penting dalam penyelesaian turunan fungsi trigonometri dalam topik berikutnya.

ATURAN RANTAI UNTUK MENCARI TURUNAN FUNGSI | lookadmin | 4.5