ATURAN COSINUS

ATURAN COSINUS – Setelah mempelajari aturan sinus, Andi mendapat tugas dari guru untuk menyelesaikan dua soal berikut.

(1) Tentukan panjang sisi a apabila dalam suatu ∆ABC diketahui panjang sisi b = 5 cm, c = 4 cm dan besar ∠A = 30°.
(2) Tentukan besar ∠A apabila diketahui panjang sisi a = 23 cm, b = 2 cm, dan c = 4 cm.

Andi mencoba menyelesaikan soal tersebut dengan menggunakan Aturan sinus.

Penyelesaian soal (1)

Penyelesaian soal (2)

Andi menyadari bahwa aturan sinus tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan kedua soal tersebut. Maukah kalian membantu Andi? Mari kita pelajari materi berikut ini untuk membantu Andi.

Aturan Kosinus

Misal ∆ABC adalah sebarang segitiga. Hal ini bisa berarti ∆ABC merupakan segitiga lancip atau segitiga tumpul seperti pada gambar berikut.

Dari kedua segitiga di atas, dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:
h 2 = a 2x 2 …(1)

Perhatikan segitiga lancip ABC.
Dari segitiga lancip ABC diperoleh:
b 2 = h 2 + (cx) 2 …(2)

Substitusikan (1) pada (2) maka diperoleh:

Oleh karena x = a cos B, maka b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B …(3)

Selanjutnya, perhatikan segitiga tumpul ABC.
Dari segitiga tumpul ABC diperoleh:
b 2 = h 2 + (c + x) 2 …(4)

Substitusikan (1) ke (4) sehingga diperoleh:

Oleh karena x = a cos (180⁰ – B) dan cos (180⁰ – B) = – cos B, maka x = –a cos B.

Substitusikan x = –a cos B ke (5), sehingga diperoleh b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B…(6).

Dengan menggunakan hasil pada segitiga lancip (3) dan segitiga tumpul (6) diperoleh bahwa:
b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B
Selanjutnya, dengan cara yang sama didapat:
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A
c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C
Ketiga bentuk tersebut dinamakan Aturan Kosinus.

Jadi, aturan kosinus berlaku pada sebarang ∆ABC dengan rumus:

dengan:
a = BC = sisi di depan ∠A
b = AC = sisi di depan ∠B
c = AB = sisi di depan ∠C

Mari kita kembali ke masalah Andi. Kita bantu Andi menyelesaikannya dengan menggunakan aturan kosinus.

Penyelesaian soal (1)
Diketahui: panjang sisi b = 5 cm, c = 4 cm dan besar ∠A = 30°.
(Diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapitnya)

Jadi panjang sisi a adalah 2,52 cm.

Penyelesaian soal (2)
Diketahui: panjang sisi a = 23 cm, b = 2 cm, dan c = 4 cm.
(Diketahui 3 sisi).

Jadi, besar ∠A adalah 30°.

Dari penyelesaian masalah Andi di atas, dapat disimpulkan bahwa, aturan kosinus digunakan apabila pada sebarang segitiga diketahui:

• Dua sisi dan satu sudut yang apitnya.

• Tiga sisi

Contoh 1

Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, hitung:

• Panjang sisi BC

• Nilai cos B

• Nilai cos C

Penyelesaian:

• Diketahui: besar ∠A = 60°, panjang sisi AC = 8 cm dan AB = 5 cm.

Oleh karena diketahui 2 sisi dan 1 sudut apitnya, maka panjang BC ditentukan dengan aturan kosinus sebagai berikut:

Jadi, panjang BC adalah 7 cm.

• Diketahui: panjang sisi AB = 5 cm, AC = 8 cm, dan BC = 7 cm.

Nilai cos B ditentukan sebagai berikut

• Diketahui panjang sisi AB = 5 cm, AC = 8 cm, dan BC = 7 cm.

Nilai cos C ditentukan sebagai berikut:

Contoh 2

Perhatikan ∆PQR berikut ini.

Berdasarkan gambar, tentukan:

• Nilai cos P

• Besar ∠P

• Nilai cos Q

• Nilai cos R

Penyelesaian:

• Diketahui: panjang sisi PQ = 6 cm, QR = 7 cm dan PR = 8 cm.

Nilai cos P ditentukan sebagai berikut.

• Menentukan besar ∠P.

Oleh karena nilai cos P bukan nilai dari sudut istimewa, maka gunakan kalkulator untuk mengetahui besar sudut P dengan cara tekan tombol cos -1 kemudian tekan 1732. Selanjutnya, tekan tombol (=) maka diperoleh 57,91 yang berarti besar ∠P adalah 57,91°.

• Diketahui: panjang sisi PQ = 6 cm, QR = 7 cm dan PR = 8 cm.

Nilai cos Q ditentukan sebagai berikut.

• Diketahui: panjang sisi PQ = 6 cm, QR = 7 cm dan PR = 8 cm.

Nilai cos R ditentukan sebagai berikut.

Apakah kamu sudah paham dengan penjelasan di atas? Ayo uji pemahamnmu tentang aturan kosinus dengan mengerjakan soal-soal quiz berikut. Selamat bekerja.

ATURAN COSINUS | lookadmin | 4.5