Aplikasi Limit dalam Kehidupan Sehari-Hari

Aplikasi Limit dalam Kehidupan Sehari-Hari – Pernahkah kamu menyaksikan tayangan di televisi yang mengisahkan tentang seorang pasien kanker yang umurnya diperkirakan dokter tinggal enam bulan lagi? Dalam dunia nyata, umur pasien kanker memang dapat diramalkan dengan memprediksi kecepatan pertumbuhan sel kanker. Hal ini karena sel kanker dapat tumbuh secara cepat baik itu dari segi jumlah, ukuran maupun massanya. Tahukah kamu bahwa prediksi tersebut didasarkan pada penerapan konsep limit?

Limit merupakan suatu konsep yang sangat mendasar dalam matematika khususnya kalkulus (limit, turunan dan integral). Kajiannya yang sangat mendasar membuat penerapannya dalam kehidupan sehari-hari tidak lepas dari ilmu pengetahuan lain seperti kedokteran, fisika dan sebagainya. Mari mengenal dan memahami dengan penuh semangat, penerapan limit dalam kehidupan sehari-hari melalui topik ini. Yuk, kita mulai dengan mengkaji penerapan limit di bidang fisika yaitu masalah kecepatan sesaat.

Kecepatan Sesaat

Kamu tentu tidak asing dengan konsep kecepatan rata-rata. Kecepatan rata-rata (v¯)didefinisikan sebagai perbandingan perpindahan dengan selang waktu (v¯=st). Apabila suatu kendaraan menempuh jarak 50 km dalam waktu 5 jam maka kecepatan rata-rata kendaraan ini adalah 10 km/jam, namun pada kenyataanya kecepatan suatu kendaraan tidaklah berupa besaran yang tetap seperti perhitungan di atas. Hal ini dapat diamati dari kecepatan yang ditunjukan oleh speedometer. Pengereman, tikungan, lampu lalu lintas, kemacetan, dan lain-lain membuat kecepatan suatu kendaraan tidak bisa benar-benar konstan. Konsep kecepatan rata-rata merupakan suatu konsep yang disederhanakan guna mempermudah perhitungan dalam ilmu fisika. Apabila kita hendak menentukan kecepatan suatu benda pada saat tertentu dibutuhkan suatu penjabaran yang lebih rinci yang disebutkecepatan sesaat. Mari simak contoh kecepatan sesaat berikut ini.

Gerak Jatuh Bebas
Posisi suatu benda diudara yang jatuh dari ketinggian h0 (dalam meter) dapat dinyatakan dengan persamaan h (t) = h0 – gt2 dengan g = 10 m/detik2 merupakan percepatan gravitasi di tempat benda jatuh dan t (dalam detik) menyatakan lama benda telah berada di udara. Misalkan suatu benda dijatuhkan dari ketinggian 250 meter dari permukaan tanah, maka setelah t detik benda ini akan berada pada ketinggian h (t) = 250 – 10t2 dengan percepatan gravitasi di tempat itu g = 10 m/detik2 .

Misalkan kita hendak menentukan kecepatan sesaat benda pada detik pertama benda ini dijatuhkan (t = 1). Kecepatan yang dimaksud dapat dihitung dengan memperkecil selang waktu dalam persamaan kecepatan rata-rata. Perhitungan dari beberapa selang disajikan sebagai berikut.

Apabila perhitungan ini terus dilanjutkan pada selang-selang yang lebih kecil lagi, maka akan diperoleh kecepatan benda saat t = 1. Perhatikan bahwa kita dapat menyatakan kecepatan sesaat dengan mengambil limit dari kecepatan rata-rata untuk selang waktu yang sangat kecil (∆t → 0) yaitu:

Dengan kata lain, apabila f (t) merupakan fungsi yang menyatakan posisi benda dan δmenyatakan bilangan yang sangat kecil, maka kecepatan sesaat benda pada waktu t = aadalah:

Catatan
Untuk menghindari keraguan, maka penggunaan h pada limit dan definisinya di topik ini diganti dengan δ.

Dengan demikian, untuk kasus benda jatuh ini kecepatan sesaat benda pada t = 1 adalah:

Tanda negatif dari kecepatan sesaat ini menyatakan arah dari gerak benda karena kecepatan merupakan besaran vektor (besaran yang memiliki nilai dan arah).

Contoh 1

Sebuah benda dijatuhkan dari ketinggian 125 meter. Posisi benda setelah t detik dinyatakan sebagai fungsi posisi f (t) = 125 – 5t2 meter dari permukaan tanah. Hitung kecepatan benda setelah 2 detik.

Penyelesaian:

Oleh karena:
f (2 + δ) = 125 – 5(2 + δ)2 = -5δ2 – 20δ + 105
dan f (2) = 125 – 5(2)2 = 125 – 20 = 105, maka:

Jadi, kecepatan benda sesaat setelah detik ke-2 adalah -20 m/detik.

Contoh 2

Pertambahan berat badan bayi dalam 30 hari pertama dinyatakan dalam fungsi b(t) = (1400t2+2,5) kg dengan t dalam hari. Tentukan kecepatan pertambahan berat badan bayi pada hari ke 20.

Penyelesaian:

Kecepatan pertambahan berat badan bayi pada hari ke 20 dihitung sebagai berikut.

Jadi, saat t = 20 hari, kecepatan pertambahan berat badan bayi adalah 110 kilogram per hari.

Apakah kamu sudah paham dengan penjelasan tentang aplikasi limit dalam kehidupan sehari-hari? Agar kamu semakin paham, kerjakan soal-soal quiz berikut dengan semangat menggebu-gebu. Selamat bekerja.

Aplikasi Limit dalam Kehidupan Sehari-Hari | lookadmin | 4.5